売上をy円、単価をx円、このときの売上個数をn個とすると
　　　　　　y=nx……①
20円値下げする毎に500個販売個数が増加するので、
kを実数とすると
n=500/(-20)x+k……②となるが、
x=200のときn=1000なので、k=6000
②より n=-25x+6000……②'
②'を①に代入
y=(-25x+6000)x
=-25x(x-240)
よってx=(240-0)/2=120のときyは最大となる

問題の意味はこんな感じでしょうか。
「ハンバーガーの単価を20円ずつ値下げすると売れる量が500個ずつ増えるけど、
値下げしすぎるとたくさん売れても儲けが少なくなってしまう。
なので、もっとも儲けが大きくなるときの値段を決定しなさい。」

ハンバーガーの単価を200円のときから20x円増減させた時の売り上げ額を考える。
題意より、(200-20x)円のときハンバーガーの売り上げは(1000+500x)個になるから、
そのときの売り上げ額は
(200-20x)(1000+500x)=-10000(x-4\()^{2}\)+320000 となり、
y=-10000(x-4\()^{2}\)+320000のグラフを描くと上に凸なので、x=4のとき最大値をとる。
このことより、ハンバーガーの単価が120円のとき、売上額は最大になる。

そう難しく考えることはありません
要するに
①売り上げ＝単価×個数
②二次関数の最大値（最小値）は平方完成して
を理解していればいいんです。（ただし変域に条件がある場合は要注意です）

単価を20円ずつ下げる・・・というのを200-20xとおきましょう。
この場合xは自然数ですね。
20円下げるごとに個数は500個増えるのだから1000+500x個の売り上げ個数と
なりますね。
売り上げ＝単価×個数なのだから
売り上げを計算すると
(200-20x)(1000+500x)となります。
これを展開すると
-10000\(x^{2}\)+80000x+200000
これが最大になるxがわかればいいですね。
見た目をよくするために10000で割っても最大となるxは変わりませんから
-\(x^{2}\)+8x-20 となってこれをyとしましょう。
y=-\(x^{2}\)+8x-20と置くと
「y=-\(x^{2}\)+8x-20が最大となるときのxを求めなさい」という問題と全く同じ
になります。
でも、最初に言ったように最大となるxは自然数になるのでしょうか？
とにかく平方完成してみます。
y=-(x-4\()^{2}\)+36 幸いにしてx=4のときyは最大となります。
従って単価を200-20×4=120ですから
120円にすると最大の売り上げとなります。
もしyが最大となるxが自然数にならなかったら？
これはグラフを書いてxが自然数という条件のもとで
yが最大となるものをみつけることになるでしょう。

ちなみに120円にした場合の売り上げ個数は1000+4×500=3000個で
売り上げは 120円×3000個＝360000円ですね。
y=-(x-4\()^{2}\)+36 でしたから
36×10000（さっき10000で割りましたから）＝360000でちゃんと一致しますね。