いろいろな本を探しても（といっても家にある数学の本です
が）、４次元の球の体積について載っている本はなく、あき
らめかけていたとき、質問＜１６３＞の訂正で使ったハップ
スの定理を使ってみようと考えつきました。
　　　Ｖ₃　　　　＿
Ｖ₄＝──・２π・ｚ
　　　２
つまり、
４次元の球の体積Ｖ₄は、３次元の球の体積Ｖ₃の半分と、重心
＿
ｚを原点の回りに一回転（２π）したものの積となるから、
　　＿
重心ｚを計算すればよいことになる。
＿
ｚ＝∫∫∫　ｚ　ｄｘｄｙｄｚ　／（Ｖ₃／２）
　　　　Ｄ
半径ａの４次元の球の体積を求めてみよう。
Ｖ₄＝２π・∫∫∫　ｚ　ｄｘｄｙｄｚ
　　　　　　　Ｄ
　　　　　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)(a²-x²-y²)
＝２π・∫∫【ｚ²／２】ｄｘｄｙ
　　　　　Ｄ　　　　0

＝π・∫∫(a²-x²-y²)ｄｘｄｙ
　　　　Ｄ
　　　　　　　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)(a²-x²)
＝π・∫【(a²-x²)ｙ-y³／３】ｄｘ
　　　Ｄ　　　　　　　　－\(\sqrt{\quad}\)(a²-x²)
＝π・∫４／３・（a²-x²)^{\(\frac{3}{2}\)}　ｄｘ
　　　Ｄ
　　　　　　π/2
＝４π／３・∫　ａ⁴cos⁴θ　ｄθ
　　　　　　-π/2
　　　　　　π/2
＝πａ⁴／６・∫（２＋４cos２θ＋１＋cos４θ）ｄθ
　　　　　　-π/2
＝（πａ⁴／６）・（６π／２）
＝（π²／２）・ａ⁴……（答）

同様の計算をすると、
５次元の球の体積Ｖ₅＝（３２π²／１５）・ａ⁵
となるが、計算がだんだん面倒くさくなる。

さて、質問の「ｎ次元球の体積と（ｎ＋１）次元球の体積に
は何か関係式はあるのでしょうか？」については
　　　　　　　　　　　　　　　　　＿
Ｖ（ｎ＋１）＝Ｖ（ｎ）／２・２π・Ｇ（ｎ）
ぐらいしかわかりません。