xy平面上の４点 (2,0) (0,2) (-2,0) (0,-2)
をそれぞれ中心とする半径 r の円が４個あり、
どの円も両隣の円と互いに外接している。
これらの円で囲まれる図形（円の内部を含まない）
を D とするとき、次の各問に答えよ。
(1) r を求めよ。
(2) D の面積を求めよ。
(3) D を x軸のまわりに回転して得られる立体の
体積を求めよ。
今年の杏林大学医学部の入試問題です。
原文通りです。
(1) r=\(\sqrt{\quad}\)2 (2) 2(4-π)
(3) が分かりません。宜しくお願いします。
(3)（素直に計算します）
まず、対称性より第1象限の領域をｘ軸に関して回転させたものを
2倍すればいいことに注意します
\(x^{2}\)+(y-2\()^{2}\)=2\(\vec{y}\)=-\(\sqrt{\quad}\)(2-\(x^{2}\))+2(注1)\(\vec{y}\\()^{2}\)=6-\(x^{2}\)-4\(\sqrt{\quad}\)(2-\(x^{2}\))
(注1；領域を囲む部分を考え、根号は負の方を取ります)
(x-2\()^{2}\)+\(y^{2}\)=2\(\vec{y}\\()^{2}\)=2-(x-2\()^{2}\)
より
V/2π=∫(0to1){6-\(x^{2}\)-4\(\sqrt{\quad}\)(2-\(x^{2}\))}dx-∫(2-\(\sqrt{\quad}\)2to1){2-(x-2\()^{2}\)}dx
問題は∫(0to1)\(\sqrt{\quad}\)(2-\(x^{2}\))dxの部分だと思いますが
x=\(\sqrt{\quad}\)2・sinθ と置換すると
積分区間は x=0to1→θ=0toπ/4
被積分関数 \(\sqrt{\quad}\)(2-\(x^{2}\))→\(\sqrt{\quad}\)2cosθ （注；積分区間から、cosは正)
また、 dx=\(\sqrt{\quad}\)2cosθ・dθ だから
∫(0to1)\(\sqrt{\quad}\)(2-\(x^{2}\))dx=∫(0to π/4)\(\sqrt{\quad}\)2・(cosθ\()^{2}\)・dθ
=\(\sqrt{\quad}\)2∫(0to π/4)(1+cos2θ)/2dθ
=[θ/2+sin2θ/4](0to π/4)=π/8+\(\frac{1}{4}\)
また、
∫(0to1)(6-\(x^{2}\))dx-∫(2-\(\sqrt{\quad}\)2to1){2-(x-2\()^{2}\)}dx
=[6x-\(x^{3}\)/3](0to1)-[2x-(x-2\()^{3}\)/3](2-\(\sqrt{\quad}\)2to1)
=・・・
として、あとひたすら計算
結局、答は \(\frac{25}{6}\)-4\(\sqrt{\quad}\)2-π/2 ←あってるかな？(^^;;