＝例題19＝ 空間図形への応用
直方体ABCD－EFGHにおいて、AB=AE=3，AD=4のとき次のものを求めよ。
(1)四面体ABFCの体積
(2)cos∠ACF
(3)sin∠ACF
(4)三角形ACFの面積
(5)Bから平面ACFに下ろした垂線の長さ
いずれもどうやって解けば、答えにたどり着く事が出来るのかが、
全くわからないので、困っています。誰か5問とも教えてくれませんか??
お手数ですが、よろしくお願いいたします。
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因みに答えは、
(1)6 (2)16 / 25 (3)3\(\sqrt{\quad}\)41 / 25 (4)3\(\sqrt{\quad}\)41 / 2 (5)12\(\sqrt{\quad}\)41 / 41
（ご存知だとは思いますが、一応確認の為☆答えの数字 / 数字は、
分子の数 / 分母の数を表しています。つまり、答えが分数という事です。）
(1) 三角錐F-ABC は、底面 ABC の面積 3×3×\(\frac{1}{2}\)、高さ BF=4 より
3×3×\(\frac{1}{2}\)×4×\(\frac{1}{3}\) = 6
(2) CF=AC=\(\sqrt{\quad}\)(A\(B^{2}\)+B\(C^{2}\))=5, AF=\(\sqrt{\quad}\)(A\(B^{2}\)+B\(F^{2}\))=3\(\sqrt{\quad}\)2 より
cos∠ACF ={ \(5^{2}\)+\(5^{2}\)-(3\(\sqrt{\quad}\)2\()^{2}\) } / { 2×5×5 } = \(\frac{16}{25}\)
(3) sin∠ACF = \(\sqrt{\quad}\){1-(\(\frac{16}{25}\)\()^{2}\)}=3\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{41}{25}\)
(4) △ACF = CA×CF×sin∠ACF ×\(\frac{1}{2}\) = 3\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{41}{2}\)
(5) B から平面ACF に下ろした垂線の長さは、
B を頂点,△ACF を底面と考えたときの高さである。これを h とおくと、
3\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{41}{2}\) × h × \(\frac{1}{3}\) = 6
h = 12\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{41}{41}\)