+^b が意味分かりませんが、
きっとこういうことだろうと勝手に解釈をして解答します。

ポイントは x≧0 ならば \(2^{x}\)≧1 であること。（指数関数のグラフより明らか）

(1) \(2^{a}\) +\(2^{b}\)≦1+\(2^{a}\) \(2^{b}\)
　　　右辺-左辺 =\(2^{a}\) \(2^{b}\) -\(2^{a}\)-\(2^{b}\)+1=(\(2^{a}\)-1)(\(2^{b}\)-1)≧ 0
　　　（等号成立は a=b=0)　　　
(2) \(2^{a}\)+\(2^{b}\)+\(2^{c}\)≦2+\(2^{a}\) \(2^{b}\) \(2^{c}\)
　　　右辺-左辺
　　　= (\(2^{a}\)-1)(\(2^{b}\)-1)(\(2^{c}\)-1)+(\(2^{a}\) \(2^{b}\) + \(2^{b}\) \(2^{c}\) + \(2^{c}\) \(2^{a}\) )
　　　　　　　　-2(\(2^{a}\)+\(2^{b}\)+\(2^{c}\))+3
　　　= (\(2^{a}\)-1)(\(2^{b}\)-1)(\(2^{c}\)-1)+(\(2^{a}\) \(2^{b}\)-\(2^{a}\)-\(2^{b}\)+1)
　　　　　　　　+(\(a^{b}\) \(2^{c}\)-\(2^{b}\)-\(2^{c}\)+1)+(\(2^{c}\)\(2^{a}\)-\(2^{c}\)-\(2^{a}\)+1)
(1) より
　　　(\(2^{a}\) \(2^{b}\)-\(2^{a}\)-\(2^{b}\)+1) , (\(a^{b}\) \(2^{c}\)-\(2^{b}\)-\(2^{c}\)+1) , (\(2^{c}\)\(2^{a}\)-\(2^{c}\)-\(2^{a}\)+1)
　　　は 0　以上
　　　(\(2^{a}\)-1)(\(2^{b}\)-1)(\(2^{c}\)-1) も 0 以上であるため、与式は成り立つ。
　　　（等号成立は a=b=c=0 )