lim Sn = S はいいんですよね。　 Σ_{n=1}^∞ an=S そのまんまですよね。
n→∞
問題は、Sn-1 でしょうが、これは感覚的なところが大きいと思いますよ。
ただし、n→∞ ならば n-1 →∞ が理解できるかどうかですが。。。
（これに限らず、n-100000 だって \(\frac{n}{100000}\) だって すべて 無限大に発散します）
よって、m=n-1 とおくと、n→∞ ならば m→∞ であるから
lim Sn-1 = lim Sm = S
n→∞　　　　m→∞
ってところでしょうか。