普通に平方完成する手順で。
y = a\(x^{2}\) + 2ax + a+6 \(x^{2}\)とxの項を\(x^{2}\)の係数で括る
= a(\(x^{2}\) + 2x) + a+6 \(x^{2}\)+2x = (x+1\()^{2}\) - 1 だから
= a{(x+1\()^{2}\) - 1} + a+6 aを分配
= a(x+1\()^{2}\) -a + a+6 整理して
= a(x+1\()^{2}\) + 6 完成
よって頂点は(-1,6)である。

ちなみに、a\(x^{2}\) + 2ax + a = a(x+1\()^{2}\)
に気づくと計算が楽です。

y=a\(x^{2}\)+2ax+a+6
\(x^{2}\)とxの項をaで因数分解して
y=a(\(x^{2}\)+2x)+a+6
2xの係数2に\(\frac{1}{2}\)を掛けて二乗したものを足してから引いて
y=a(\(x^{2}\)+2x+1-1)+a+6
y=a(\(x^{2}\)+2x+1)-a+a+6
( )のところは(x+1\()^{2}\)と因数分解できるので
y=a(x+1\()^{2}\)+6
よって頂点の座標は
(-1,6)

y=a\(x^{2}\)+2ax+a+6
=a(\(x^{2}\)+2x)+a+6
=a{(x+1\()^{2}\)-1}+a+6
=a(x+1\()^{2}\)+6
よって頂点は(-1,6)