相加・相乗平均の関係を3回使います。

x>0, y>0, z>0より相加・相乗平均の関係から
\(\frac{x}{4}\) + \(\frac{y}{x}\) ≧ 2\(\sqrt{\quad}\)(\(\frac{y}{4}\)) (\(\frac{x}{4}\) = \(\frac{y}{x}\)のとき等号成立)
\(\frac{z}{y}\) + \(\frac{1}{z}\) ≧ 2\(\sqrt{\quad}\)(\(\frac{1}{y}\)) (\(\frac{z}{y}\) = \(\frac{1}{z}\)のとき等号成立)
が成り立ち、これを辺々加えて
\(\frac{x}{4}\) + \(\frac{y}{x}\) + \(\frac{z}{y}\) + \(\frac{1}{z}\) ≧ 2\(\sqrt{\quad}\)(\(\frac{y}{4}\)) + 2\(\sqrt{\quad}\)(\(\frac{1}{y}\))
この式の右辺について、相加・相乗平均の関係より
2\(\sqrt{\quad}\)(\(\frac{y}{4}\)) + 2\(\sqrt{\quad}\)(\(\frac{1}{y}\)) ≧ 2\(\sqrt{\quad}\){4\(\sqrt{\quad}\)(\(\frac{1}{4}\))} = 2\(\sqrt{\quad}\)2
(2\(\sqrt{\quad}\)(\(\frac{y}{4}\)) = 2\(\sqrt{\quad}\)(\(\frac{1}{y}\)) つまり y=2のとき等号成立)であるから、
\(\frac{x}{4}\) + \(\frac{y}{x}\) + \(\frac{z}{y}\) + \(\frac{1}{z}\) ≧ 2\(\sqrt{\quad}\)2
(x=2\(\sqrt{\quad}\)2, y=2, z=\(\sqrt{\quad}\)2のとき等号成立)

ゆえにx=2\(\sqrt{\quad}\)2, y=2, z=\(\sqrt{\quad}\)2のとき最小値2\(\sqrt{\quad}\)2

相加相乗平均の関係より
\(\frac{x}{4}\)+\(\frac{y}{x}\)+\(\frac{z}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)
≧4*{(\(\frac{x}{4}\))*(\(\frac{y}{x}\))*(\(\frac{z}{y}\))*(\(\frac{1}{z}\))}^(\(\frac{1}{4}\))
=4*(\(\frac{1}{4}\))^(\(\frac{1}{4}\))=2\(\sqrt{\quad}\)2
等号成立は
\(\frac{x}{4}\)=\(\frac{y}{x}\)=\(\frac{z}{y}\)=\(\frac{1}{z}\)
すなわち
x=2\(\sqrt{\quad}\)2,y=2,z=\(\sqrt{\quad}\)2の時

相加・相乗平均の不等式より
\(\frac{x}{４}\)+ｙ/x+ｚ/ｙ+１/ｚ
≧4*(^4\(\sqrt{\quad}\){(\(\frac{x}{４}\))*(ｙ/x)*(ｚ/ｙ)*（１/ｚ)})
=4/\(\sqrt{\quad}\)2=2\(\sqrt{\quad}\)2

等号が成立するのは
\(\frac{x}{４}\)＝ｙ/x＝ｚ/ｙ＝１/ｚが成立するときのみ

よって
\(x^{2}\)=4y…(1)
y=\(z^{2}\)…(2)
xz=4…(3)
が成立する。

(1)に(2)を代入して
\(x^{2}\)=4\(z^{2}\)
よりx=2z…(3)

よって2\(z^{2}\)=4

よってz=\(\sqrt{\quad}\)2
(2)に代入してy=2
(3)に代入してx=2\(\sqrt{\quad}\)2

よって、
x＝２\(\sqrt{\quad}\)２、ｙ＝２、ｚ＝\(\sqrt{\quad}\)２のとき、等号が成立することがわかる。

よって、
\(\frac{x}{４}\)+ｙ/x+ｚ/ｙ+１/ｚはx＝２\(\sqrt{\quad}\)２、ｙ＝２、ｚ＝\(\sqrt{\quad}\)２のとき
最小値2\(\sqrt{\quad}\)2をとる。