束の考え方を利用します。

求める円の方程式は
\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-5 + k(x+3y-5) = 0 とおける。
これが原点を通るからx=0,y=0を代入すると k=-1
ゆえに求める円の方程式は \(x^{2}\)+\(y^{2}\)-x-3y=0

\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-5=0
x+3y-5=0
の交点を通る図形は
(\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-5)+k(x+3y-5)=0　　(kは実数)
と表せる
これが原点を通るので
-5-5k=0
k=-1
よって求める円の方程式は
\(x^{2}\)-x+\(y^{2}\)-3y=0

解法その１

円 \(x^{2}\)+\(y^{2}\)=5 …①
直線 x+3y-5=0 …②

①と②の連立方程式を解いて二つの交点を求めると。
(x,y)=(2,1),(-1,2)…③

求める円の方程式を
\(x^{2}\)+\(y^{2}\)+ax+by+c=0…④とおいて
原点を通ることと③より
(x,y)=(0,0),(2,1),(-1,2)を代入して
a,b,cに関する連立方程式を解く
a=-1,b=-3,c=0

よって求める円の方程式は
\(x^{2}\)+y~2-x-3y=0

解法その２

求める円の方程式は
\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-5+k(x+3y-5)=0とおける
原点を通るからx=y=0を代入して
k=-1
求める円の方程式は
\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-x-3y=0