①
\(\frac{2}{3}\)πを(\(\frac{2}{3}\))πラジアン(=120°）と解釈します。
θ-(\(\frac{2}{3}\))π=xとおくと
θ=x+(\(\frac{2}{3}\))π
加法定理で
sinθ=sin{x+(\(\frac{2}{3}\))π}
=-\(\frac{1}{2}\)sinx+\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{3}{2}\)cosx
=-\(\frac{1}{2}\)sin{θ-(\(\frac{2}{3}\))π}+\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{3}{2}\)cos{θ-(\(\frac{2}{3}\))π}
cosθも同様にやればいいと思います。
tanθ=sinθ/cosθで計算すればいいと思います。

（別解）
複素平面上で
cos{θ-(\(\frac{2}{3}\))π}+i・sin{θ-(\(\frac{2}{3}\))π}に対して
cosθ+i・sinθ
=[cos{θ-(\(\frac{2}{3}\))π}+i・sin{θ-(\(\frac{2}{3}\))π}]{cos(\(\frac{2}{3}\))π+i・sin(\(\frac{2}{3}\))π)}
とやってもいいと思います。
あとは右辺と左辺の実部・虚部の係数比較でいいと思います。

②
θが第３象限ならば
-1＜cosθ＜0 tanθ>0 が条件になります。
あとは三角関数の相互関係でいけると思います。