(1)
lim[n→∞]Σ[k=1to n]{1/(n+k)}だと思うのでそのつもりで回答します。
違ってたらすいません。

与式=lim[n→∞]Σ[k=1to n](\(\frac{1}{n}\))[1/{1+(\(\frac{k}{n}\))}]
=∫[0,1]{1/(1+x)}dx
=[log|1+x|][0,1]
=log2

(2)
J=∫e^(ax)sin(bx)dxとおくと

J=(\(\frac{1}{a}\))(e^(ax)sin(bx)-∫(\(\frac{b}{a}\))e^(ax)cos(bx)dx
=(\(\frac{1}{a}\))e^(ax)sin(bx)-(\(\frac{b}{a}\)){(\(\frac{1}{a}\))e^(ax)cos(bx)+∫(\(\frac{b}{a}\))e^(ax)sin(bx)dx}
=(\(\frac{1}{a}\))e^(ax)sin(bx)-(b/\(a^{2}\))e^(ax)cos(bx)-{(\(\frac{b}{a}\)\()^{2}\)}J

∴J=[{asin(bx)-bcos(bx)}e^(ax)]/(\(a^{2}\)+\(b^{2}\))