(1)
これは加法定理でいいでしょう

sin∠BAP=sin15°=sin(60°-45°)
=(\(\sqrt{\quad}\)6-\(\sqrt{\quad}\)2)/4

(2)
△ＡＢＰと△ＡＰＣが三角形になりうるθの範囲を考えればいかな？
それぞれが同時に満たされるθの範囲は

15°＜θ＜150° でしょうか？

(3)
これがまだ解けていません・・・
どなたかお力を・・・

(1),(2) は wakkyさんと同様。

(3)
AB=a, AC=b とおくと
△ABPで正弦定理を用いて
　\(\frac{a}{s}\)in(180-t)=\(\frac{1}{s}\)in(t-15)
△ACPで正弦定理を用いて
　\(\frac{b}{s}\)in t=\(\frac{1}{s}\)in(150-t)
これより
\(\frac{1}{a}\)b=sin(t-15)sin(150-5)/sin(180-t)sin t
=sin(t-15)sin(t+30)/si\(n^{2}\)t
S=\(\frac{1}{2}\) ab sin45 =a\(\frac{b}{2}\)\(\sqrt{\quad}\)2 より
1/S=2\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{2}{a}\)b=2\(\sqrt{\quad}\)2sin(t-15)sin(t+30)/si\(n^{2}\)t

(4)
S を最小にするのは 1/S が最大のとき
1/S=2\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{2}{s}\)i\(n^{2}\)t × (sintcos15-costsin15)(sintcos30+costsin30)
=…=\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{2}{4}\) × {-(\(\sqrt{\quad}\)6-\(\sqrt{\quad}\)2)(tan t-1\()^{2}\)+2\(\sqrt{\quad}\)2+2\(\sqrt{\quad}\)6}
15＜t＜150 より
1/S は　tan t=1 のとき最大となるから
S の最小値は t=45 のとき
4/\(\sqrt{\quad}\)2(2\(\sqrt{\quad}\)２＋２\(\sqrt{\quad}\)6)=(\(\sqrt{\quad}\)3-1)/2 である。

よいもんだいですね。
出典をしりたいので、
是非教えて下さい。

角度の単位「°」を省略します

(1)
wakkyさんのおっしゃる加法定理もいいですが
∠A=30,∠B=∠R,BC=1 の直角三角形ABCを考え、
半直線BA上にDA=ACとなる点Dを取ると
DC=\(\sqrt{\quad}\)2(\(\sqrt{\quad}\)3+1),∠CDB=15 となり、この図から計算することもできます。
ただ、15度は有名角として覚えておいた方がいいかも…(^^;;
結局　sin15=1/{\(\sqrt{\quad}\)2(\(\sqrt{\quad}\)3+1)}=(\(\sqrt{\quad}\)6-\(\sqrt{\quad}\)2)/4…答

[この問題の場合、図からcot15=(2+\(\sqrt{\quad}\)3)がすぐわかっ
　 て、ちょっと嬉しい(^^;;　,
ついでに cos15=(2+\(\sqrt{\quad}\)3)/{\(\sqrt{\quad}\)2(\(\sqrt{\quad}\)3+1)}
=(\(\sqrt{\quad}\)6+\(\sqrt{\quad}\)2)/4 ]

(2)
△ABPの外角と見ると θ=B+15 で、0＜B＜135より
　　　　15＜θ＜150…答

(3)
まず∠B=θ-15,∠C=150-θ に注意します。
すると△ABPで正弦定理を用いて
　AB/sin(180-θ)=AP/sin(θ-15)

i.e.AB=sinθ/sin(θ-15)
∴1/AB=sin(θ-15)/sinθ
=(cos15sinθ-sin15cosθ)/sinθ
=cos15-sin15cotθ

同様に△ACPで正弦定理を用いて
1/AC=sin(150-θ)/sinθ
=sin(θ+30)/sinθ
=cos30+sin30cotθ
よって
　1/S=2/(AB・AC・sinA)
=2\(\sqrt{\quad}\)2(cos15-sin15cotθ)(cos30+sin30cotθ)…答

(4)
1/Sをcotθの２次関数とみると、そのgraphの切片は
cotθ=cot15,-cot30 だから、
その中点cotθ={cot15+(-cot30)}/2={(2+\(\sqrt{\quad}\)3)+(-\(\sqrt{\quad}\)3)}/2=1 のとき、
1/SはMax 2\(\sqrt{\quad}\)2(cos15-sin15)(cos30+sin30)
=2\(\sqrt{\quad}\)2{(\(\sqrt{\quad}\)6+\(\sqrt{\quad}\)2)/4-(\(\sqrt{\quad}\)6-\(\sqrt{\quad}\)2)/4}(\(\sqrt{\quad}\)3+1)/2
=\(\sqrt{\quad}\)3+1　　　　　　注*

よってθ=45で　Smin=1/(\(\sqrt{\quad}\)3+1)=(\(\sqrt{\quad}\)3-1)/2…答

注*　普通の２次関数でx切片の中点のとこに頂点が来ま
　　すよね(^^;;