ｎ！は「ｎの階乗」と読み、ｎは正の整数のときに限ります。
ただし、例外として０！＝１というのがありますが、質問の
（－１／２）！は負の分数なので、定義からして値は求まり
ません。なにかこういう問題が出てきたのですか？

こんにちは。坂田です。
例の階乗の問題ですが、私の計算方法がまずかったのだと思
いますが、積分の問題で出てきました。
あと、正の分数の階乗については、以前どこかで見たことが
あり、\(\sqrt{\quad}\)πを含んだ結果だったような覚えがあります。
以上の理由から、質問させていただいた次第です。

マグロウヒル大学演習「微積分（下）」（Murray R. Spiegel
著　水町　浩　訳）を見ていたら、坂田君の質問した問題らし
きものを発見しました。
　　　　∞
Γ(n)＝∫　ｘ^n-1ｅ^-xｄｘ
　　　　0
とガンマ関数が定義されている。これはｎ＞０に対して収束
する。
次に、ガンマ関数の循環式Γ(n+1)＝ｎΓ(n)、ただし
Γ(1)＝１が証明される。
これは、ｎが正の整数のとき、Γ(n+1)＝ｎ！となるので、
階乗関数とも呼ばれている。Γ(6)＝５！＝１２０
ｎが正の整数という条件をうっかりはずすと、
Γ(\(\frac{1}{2}\))＝(-\(\frac{1}{2}\))！
という階乗を考えてしまいがちです。

また、正の分数の階乗もうっかり考えがちですが、これは
ガンマ関数の計算がそれらしき雰囲気をかもしているから
です。例えばΓ(\(\frac{5}{2}\))／Γ(\(\frac{1}{2}\))の計算です。
Γ(\(\frac{5}{2}\))／Γ(\(\frac{1}{2}\))＝(\(\frac{3}{2}\))Γ(\(\frac{3}{2}\))／Γ(\(\frac{1}{2}\))
＝(\(\frac{3}{2}\))(\(\frac{1}{2}\))Γ(\(\frac{1}{2}\))／Γ(\(\frac{1}{2}\))
＝３／４

また、Γ(\(\frac{1}{2}\))は定義を使って計算すると、
　　　　　∞
Γ(\(\frac{1}{2}\))＝∫　ｘ^{-\(\frac{1}{2}\)}ｅ^-xｄｘ
　　　　　0
ｘ＝ｕ²とおくと、
ｄｘ＝２ｕｄｕより、
　　　　　∞
Γ(\(\frac{1}{2}\))＝∫　ｕ^-1ｅ^{-\(u^{2}\)}２ｕｄｕ
　　　　　0
　　　　　　∞
　　　 ＝２∫　ｅ^{-\(u^{2}\)}ｄｕ
　　　　　　0
定積分の計算公式より、
　∞
∫　ｅ^{-\(x^{2}\)}ｄｘ＝\(\sqrt{\quad}\)π／２
　0
だから
　　　　　　∞
Γ(\(\frac{1}{2}\))＝２∫　ｅ^{-\(u^{2}\)}ｄｕ
　　　　　　0
　　　　＝２×\(\sqrt{\quad}\)π／２
　　　　＝\(\sqrt{\quad}\)π
質問の＜１６９＞もこの問題に絡んでいるのでしょう。
分からなかった質問が一本の糸で結ばれてホッとしました。