武田先生お久しぶりです。お元気でしょうか？
6年ほど前にここでお世話になった坂田です。
今は関東の大学で理論物理の院生をやっています。
ふと懐かしくなってＨＰを覗いていたところ、
微分方程式の未解決問題が目に留まったので、
やってみようと思いました。

d\(\frac{y}{d}\)x = -xy + xexp(-\(x^{2}\)/2)をy(0)=1の下で解く。

まず、斉次方程式を解きます。すなわち

d\(\frac{y}{d}\)x = -xy

\(\frac{1}{y}\) * d\(\frac{y}{d}\)x = -x

両辺をxで積分すると

log|y| = -\(x^{2}\)/2 + C

∴ y = Aexp(-\(x^{2}\)/2) (A:任意定数)

定数変化法の考えに基づいて、Aをxの関数と考える。
非斉次方程式に代入すれば、

dA/dx * exp(-\(x^{2}\)/2) = xexp(-\(x^{2}\)/2)

dA/dx = x

∴ A = \(x^{2}\)/2 + C (Cは任意定数)

従って、微分方程式の解は

y(x) = Cexp(-\(x^{2}\)/2) + \(x^{2}\)/2 * exp(-\(x^{2}\)/2)

y(0) = C = 1より

y(x) = (\(x^{2}\)/2 +1)exp(-\(x^{2}\)/2) ・・・(答)

代入して確かめましたが、これで正しいようです。
それではまた。。