難儀しましたが、結局は数学的帰納法の問題でしょうか。
自信はないんですけど・・・

(1)
a(1)=2>0
n=kのときa(k)>0が成り立つと仮定
条件より
a(k+1)=a(k\()^{2}\)-a(k)+1
={a(k)-(\(\frac{1}{2}\))}^2+\(\frac{3}{4}\)>0
よってn=k+1のときも成り立つ。
従って、すべてのnに対して a(n)>0

(2)
n=1のとき
a(2)=a(1\()^{2}\)-a(1)+1=4-2+1=3
P(1)+1=a(1)+1=3
よってn=1のとき成り立つ。
n=kのときa(k+1)=P(k)+1が成り立つと仮定
a(k+2)=a(k+1\()^{2}\)-a(k+1)+1
={P(k)+1}^2-{P(k)+1}+1
=P(k\()^{2}\)+P(k)+1
=P(k){P(k)+1}+1
=P(k)a(k+1)+1 （仮定より）
=P(k+1)+1
よってn=k+1のときも成り立つ。
従ってすべてのnについて a(n+1)=P(n)+1

(3)
a(1)=2,a(2)=3,a(3)=7,a(4)=43
これは地道に計算して
S(1)=\(\frac{1}{2}\) , S(2)=\(\frac{5}{6}\) , S(3)=\(\frac{41}{42}\) , S(4)=\(\frac{1805}{1806}\)

(4)
S(n)の計算の際、通分すると、
分母はP(n)となることに着目して、(3)の結果から
S(n)={P(n)-1}/P(n) と推察できる。
n=1のとき S(1)=\(\frac{1}{a}\)(1)=\(\frac{1}{2}\)
{P(1)-1}/P(1)={a(1)-1}/a(1)=\(\frac{1}{2}\)
よってn=1のとき成り立つ。
n=kのときS(k)={P(k)-1}/P(k) が成り立つと仮定。
S(k+1)=S(k)+\(\frac{1}{a}\)(k+1)
={P(k)-1}/P(k)+\(\frac{1}{a}\)(k+1)
=[{P(k)-1}a(k+1)+P(k)]/{P(k)a(k+1)}
=[P(k)a(k+1)-{P(k)+1}+P(k)]/P(k+1)
={P(k+1)-1}/P(k+1)
よってn=k+1のときも成り立つ。
従ってすべてのnについて
S(n)={P(n)-1}/P(n) が成り立つ。