おさわがせしました、ＢｏｓｓＦこと　二木 史人 ともうします。

前半の
「二次関数ｙ＝ｘ２乗＋ａx＋ｂにおいて、
ｘの任意の値に対するｙの最小値は４である。」
は、graphの頂点のy座標が4であることを示しますから

y=(x-\(\frac{a}{2}\)\()^{2}\)+4 とできます

後半の
「-\(\frac{1}{2}\)≦ｘ≦\(\frac{1}{2}\)の範囲でｙの最小値が６になる」
は
軸≦-\(\frac{1}{2}\) →　ｆ(-\(\frac{1}{2}\))=6
\(\frac{1}{2}\)≦軸　\(\vec{f}\)(\(\frac{1}{2}\))=6 を示しますから

i) 軸；x=-\(\frac{a}{2}\)≦-\(\frac{1}{2}\) すなわち a≧1 のとき
　ｆ(-\(\frac{1}{2}\))=(-\(\frac{1}{2}\)-\(\frac{a}{2}\)\()^{2}\)+4=(a+1\()^{2}\)/4+4=6
∴a=-1+2\(\sqrt{\quad}\)2　（-1-2\(\sqrt{\quad}\)2は不適)

ii) 軸；x=-\(\frac{a}{2}\)≧\(\frac{1}{2}\) すなわち a≦-1 のとき
ｆ(\(\frac{1}{2}\))=(\(\frac{1}{2}\)-\(\frac{a}{2}\)\()^{2}\)+4=(a-1\()^{2}\)/4+4=6
∴a=1-2\(\sqrt{\quad}\)2　　（1-2\(\sqrt{\quad}\)2は不適)

よって　a=\(\pm\)(1-2\(\sqrt{\quad}\)2) …答

y = (x + \(\frac{a}{2}\)\()^{2}\) + b - \(a^{2}\)/4
だから
x = -\(\frac{a}{2}\) の時最小値 b - \(a^{2}\)/4 = 4.
つまり b = \(a^{2}\)/4 + 4 … (ア)

グラフを考えて,
i) -\(\frac{a}{2}\) ＜ -\(\frac{1}{2}\) (即ち a > 1) の時
x = -\(\frac{1}{2}\) の時最小で, このとき y = \(\frac{1}{4}\) - \(\frac{a}{2}\) + b = 6.
(ア) を代入して整理すると \(a^{2}\) - 2a - 7 = 0.
a = 1 \(\pm\) 2\(\sqrt{\quad}\)2 だが, a > 1 より a = 1 + 2\(\sqrt{\quad}\)2.

ii) -\(\frac{a}{2}\) > \(\frac{1}{2}\) (即ち a ＜ -1) の時
x = \(\frac{1}{2}\) の時最小で, このとき y = \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{a}{2}\) + b = 6.
(ア) を代入して整理すると \(a^{2}\) + 2a - 7 = 0.
a = -1 \(\pm\) 2\(\sqrt{\quad}\)2 だが, a ＜ -1 より a = -1 - 2\(\sqrt{\quad}\)2.

以上より a = \(\pm\)(1 + 2\(\sqrt{\quad}\)2).

グラフにするとより理解しやすいのでしょうけど・・
直線y=4に頂点が接している下に凸の放物線が、
左右に移動するというイメージです。
頂点のy座標は常に4なので、
あとは、頂点のx座標が動いた時に、
-\(\frac{1}{2}\)≦x≦\(\frac{1}{2}\)のとき最小値がどうなるかを考えればいいと思います。

回答

y=f(x)とおくと
y={x+(\(\frac{1}{2}\))a}^2-(\(\frac{1}{4}\))\(a^{2}\)+b
最小値は4だから　-(\(\frac{1}{4}\))\(a^{2}\)+b=4 より

b=(\(\frac{1}{4}\))\(a^{2}\)+4・・・①

-(\(\frac{1}{2}\))a≦\(\frac{1}{2}\) すなわち　a≧1 のとき
頂点のx座標はx=-\(\frac{1}{2}\)より左側にあるから
y=f(x)は-\(\frac{1}{2}\)≦x≦\(\frac{1}{2}\)においては、x=-\(\frac{1}{2}\)のとき最小となる。
その最小値が6だから
f(-\(\frac{1}{2}\))=-(\(\frac{1}{2}\))a+b+(\(\frac{1}{4}\))=6・・・②
①と②から
\(a^{2}\)-2a-7=0 より　a=1\(\pm\)2\(\sqrt{\quad}\)2
a≧1より　a=1+2\(\sqrt{\quad}\)2

-\(\frac{1}{2}\)＜-(\(\frac{1}{2}\))a＜\(\frac{1}{2}\) すなわち　-1＜a＜1 のとき
この場合は条件より最小値は4であり6にはならない。

-(\(\frac{1}{2}\))a≧\(\frac{1}{2}\)　すなわち　a≦-1　のとき
頂点のx座標はx=\(\frac{1}{2}\)より右側にあるから
y=f(x)は-\(\frac{1}{2}\)≦x≦\(\frac{1}{2}\)においては、x=\(\frac{1}{2}\)のとき最小となる。
f(\(\frac{1}{2}\))=(\(\frac{1}{2}\))a+b+(\(\frac{1}{4}\))=6・・・③
①と③から
\(a^{2}\)+2a-7=0 より　a=-1\(\pm\)2\(\sqrt{\quad}\)2
a≦-1より　a=-1-2\(\sqrt{\quad}\)2

以上より　a=\(\pm\)(1+2\(\sqrt{\quad}\)2)