積が和になる・・・なんか対数っぽいと気づけばいいですね（笑

（１）
f(1)を知りたいんだから
xy=1 とすれば y=\(\frac{1}{x}\)
f(xy)=f(x)+f(y)より
f(1)=f(x)+f(\(\frac{1}{x}\))・・・①
これが任意のxについて言えるからx=1を代入すると
f(1)=2f(1)
よって f(1)=0 （まずlog1=0が見えた）
また①より f(x)+f(\(\frac{1}{x}\))=0
よって f(\(\frac{1}{x}\))=-f(x) （log(\(\frac{1}{x}\))=-logxも見えた）

（２）
（１）の結果から
f(\(\frac{x}{y}\))=f(x)+f(\(\frac{1}{y}\))=f(x)-f(y)

（３）
まず微分の定義から
lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h=f'(x)
これを意識しつつ
lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h
=lim[h→0][f{(x+h)/x}]/h 【（２）より】
=lim[h→0]{f(1+\(\frac{h}{x}\))-f(1)}/h 【f(1)=0を利用して】
=lim[h→0](\(\frac{1}{x}\)){f(1+\(\frac{h}{x}\))-f(x)}/(\(\frac{h}{x}\)) 【分母・分子をxで割りました】
=(\(\frac{1}{x}\))f'(1) 【h→0のとき\(\frac{h}{x}\)→0 と微分の定義から】
=2/ｘ

よって lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h=\(\frac{2}{x}\)

つまり f(x)=2logx （底はe) だったようです。
2logxy=2(logx+logy)=f(x)+f(y)
2log(\(\frac{x}{y}\))=2(logx-logy)
2log1=0
2logxを微分すると 2/ｘ
どれもうまく当てはまります。

(1) x=y=1 のときを考えると f(xy)=f(x)+f(y) より
　　f(1)=f(1)+f(1)
　　f(1)=0
　　また、f(1)=f(x・\(\frac{1}{x}\))=f(x)+f(\(\frac{1}{x}\))=0 であるから
　　f(\(\frac{1}{x}\))=-f(x)

(2) f(\(\frac{x}{y}\))=f(x・\(\frac{1}{y}\))=f(x)+f(\(\frac{1}{y}\))=f(x)-f(y)

(3) f'(1)=2 より
　　lim[h→0]{f(1+h)-f(1)}/h=2
　　lim[h→0]f(1+h)/h=2
　　x>0 より h→0 ならば \(\frac{h}{x}\)→0 であるから
　　lim[h→0]f(1+\(\frac{h}{x}\))/(\(\frac{h}{x}\))=2
　　lim[h→0]xf( (x+h)/x )/h=2
　　x lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h=2
　　lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h=\(\frac{2}{x}\)

面白い問題ですね。