まず、ラグランジュ補間とニュートン補間の共通点について

ともに、与えられた複数の点をすべて通る曲線において、
ある x 値に対してその曲線上の y 値を求める計算法（補間法）であり、
曲線は、(点の数 - 1)次の多項式で表すことができる ことを用いている。

次に相違点…簡単に言えば、その計算法です。
Ｎ元連立を解けば補間できるのですが、
それが容易でないために、工夫されたものです＜補間法

ラグランジュ補間
点(xi ,yi ） i=1,2,…,n が与えられているとして
さて　Ｐ(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)　とし、
さらに　Ｐi(x)=｛Ｐ(x)/(x-xi)を約分したもの｝　とおくと
Ｐi(x)/Ｐi(xi) は、x=xi で１,それ以外のx=x1，x2，x3…xn で０ だから

Ｌ(x)=∑[yiＰi(x)/Ｐi(xi)]　が求める式となります

ニュートン補間
これは説明がめんどくさいので(^^;;
http://www2.cc.niigata-u.ac.jp/~takeuch\(\frac{i}{t}\)basic/Intro2Basic/NewtonIP.html
をごらんください