正弦余弦の加法定理を使えば簡単

tan(α+β）をsin(α+β)/cos(α+β)になおし、
加法定理で開いたあと、
分母分子をcosα cosβで割ると、容易に求まります。

こまったときには、tanはsi\(\frac{n}{c}\)osに…これ鉄則

正接の加法定理
tan(α＋β)＝tanα＋tanβ／１－tanα＋tanβ
の証明のやりかたを教えて下さい。
数学が本当に苦手で簡単な問題もわからないんです。
お願いします。

どこまで理解できているのかの前提が
分かりませんが、
正弦と余弦の加法定理が
理解できているとして説明します。

tan(a+b)=sin(a+b)/cos(a+b)
sin a cos b + cos a sin b
= ---------------------------
cos a cos b - sin a sin b

分母分子を cos a cos b で割って
sin a sin b
----- + -------
cos a cos b
= -------------------
sin a sin b
1 + ------------
cos a cos b

tan a + tan b
= ------------------
1+ tan a tan b

こんなもんでよろしいでしょうか。