A>0のときを考える。
\(A^{2}\)÷A=\(A^{1}\)=A^(2-1)
\(A^{1}\)÷A=1=A^(1-1)
つまり、指数法則\(A^{m}\)×\(A^{n}\)=A^(m+n)がm=n=0でも成り立つようにするには
\(A^{0}\)=1とする必要がある。

指数法則を理解すればいいでしょう。

\(a^{m}\)×\(a^{n}\)＝ａ^(m+n)
\(a^{m}\)÷\(a^{n}\)＝ａ^(m-n)・・・①
(\(a^{m}\)\()^{n}\)＝\(a^{m}\)n
(ab\()^{m}\)＝\(a^{m}\)×\(a^{n}\)

①でm=nのとき右辺は\(a^{0}\)だから１ですね

\(a^{3}\) , \(a^{2}\) , \(a^{1}\)
と÷a していくと、指数が 1 減っていますよね。
この要領で
\(a^{0}\) は \(a^{1}\) ÷ a で 1 です。
同様にして
a^(-1) は \(a^{0}\)÷a=\(\frac{1}{a}\)
a^(-2) は a^(-1) ÷ a = \(\frac{1}{a}\) ÷ a = 1/\(a^{2}\)
と考えて下さい。

また補足ですが、数学Ⅱになると、
\(a^{0}\).5 というのも登場します。(a>0)

これも、(\(a^{0}\).5\()^{2}\)=a より
\(a^{0}\).5=\(\sqrt{\quad}\)a となります。

みんな指数法則をもっと広義に使える
定義されたものだったと思いますよ。

こんなもんでいかがでしょうか？

指数が自然数であるものは直観的に納得できるということですよね。
　　Ａの３乗＝Ａ×Ａ×Ａ
　　Ａの２乗＝Ａ×Ａ
　　Ａの１乗＝Ａ
これを上から下へと見ていくと，
上の値を÷Ａしたものが下の値，という関係になっていますから，
指数を整数にまで拡張した定義を考えるとすると，こんな風になります。
　　Ａの２乗＝ Ａの３乗÷Ａ ＝Ａ×Ａ
　　Ａの１乗＝ Ａの２乗÷Ａ ＝Ａ
　　Ａの０乗＝ Ａの１乗÷Ａ ＝１
　　Ａの-1乗＝ Ａの０乗÷Ａ ＝１÷Ａ
　　Ａの-2乗＝ Ａの-1乗÷Ａ ＝１÷Ａ÷Ａ
この定義（この指数表記）そのものを前提としないのであれば，
証明できないと思います。ですから「定義なのでできない」となるかな。