点(0,c)ということですから、x軸上ではなくy軸上の点ということにします。
あるいはx軸上で（c,0)？どっちにちても考え方に違いはないと思いますので、
y軸上の点(0,c)ということにします。
グラフにしてみると、接線は二本になります。
従って傾きは、絶対値が同じ正と負の傾きになります。

楕円 (\(x^{2}\)/\(a^{2}\))+(\(y^{2}\)/\(b^{2}\))=1 …①
まず①上の点(s,t)における接線の方程式を求めます。
①の両辺をxで微分して
(2x/\(a^{2}\))+(2y/\(b^{2}\))y'=0
y'=-(\(b^{2}\)/\(a^{2}\))(\(\frac{x}{y}\))
従って、(s,t)における接線の方程式は
y=-(\(b^{2}\)/\(a^{2}\))(\(\frac{s}{t}\))(x-s)+t
これを変形・整理して
(sx/\(a^{2}\))+(ty/\(b^{2}\))=1 …②[(\(s^{2}\)/\(a^{2}\))+(\(t^{2}\)/\(b^{2}\))=1を利用]
接線②は(0,c)を通るので
②にx=0 y=c を代入して
t=\(b^{2}\)/c…③
(s,t)は楕円①上にあるから③と合わせて
s=\(\pm\)|\(\frac{a}{c}\)|\(\sqrt{\quad}\)(\(b^{2}\)+\(c^{2}\))
接線の傾きは
(t-c)/(s-0)だから、これを計算すると
\(\pm\)|\(b^{2}\)-\(c^{2}\)|/|a|\(\sqrt{\quad}\)(\(b^{2}\)+\(c^{2}\))

な～んか・・・計算怪しいけど・・・ご勘弁を