平行六面体ABCD-EFGHにおいて、
４つの対角線AG,BH,CE,DFは同じ点で交わり、
その点で２等分されることを証明せよ。
という問題なのです。よろしくお願いします。
平行六面体ABCD-EFGHにおいて、
４つの対角線AG,BH,CE,DFは同じ点で交わり、
その点で２等分されることを証明せよ。
という問題なのです。よろしくお願いします。
ベクトルａを(v)ａと書くことにします
(v)AB=(v)a,(v)AD=(v)b,(v)AE=(v)c とおきます。
(v)AG=(v)a+(v)b+(v)c
(v)BH=-(v)a+(v)b+(v)c
(\(\frac{1}{2}\))(v)AG=[(v)a+{(v)b+(v)c}]={(v)AB+(v)AH}/2
従って、線分AGの中点をPとすると
(\(\frac{1}{2}\))(v)AG=(v)APで、Pは線分BHを1:1に内分する。
(\(\frac{1}{2}\))(v)BH=[-(v)a+{(v)b+(v)c}]={(v)BA+(v)BG}/2
だから、(v)BHもまたPを通る。
以下同様にそれぞれ一点で交わって互いに二等分することがわかります。