条件はいいですね。
ただ、xy>0 だと x＜0かつy＜0でもＯＫですから
x>0 かつ y>0 となりますね

S=xyより y=S/x
これを\(x^{2}\)+\(y^{2}\)=16に代入します。
\(S^{2}\)=-\(x^{4}\)+16\(x^{2}\) となります。
Sが最大とは\(S^{2}\)が最大でることと同じですね(S>0だから）
ここで\(x^{2}\)=tとおいて
\(S^{2}\)=-\(t^{2}\)+16t
=-(t-8\()^{2}\)+64
つまり t=8 すなわち x=2\(\sqrt{\quad}\)2（x>0だから)
\(S^{2}\)=64 つまり S=8 が最大です。

（別解）
S=xyより y=S/x
これを\(x^{2}\)+\(y^{2}\)=16に代入て
\(x^{2}\)+\(s^{2}\)/\(x^{2}\)=16
x>0 S>0 より
また、相加平均と相乗平均の関係から
\(x^{2}\)+\(s^{2}\)/\(x^{2}\)≧2\(\sqrt{\quad}\)(\(x^{2}\)×\(s^{2}\)/\(x^{2}\))=2\(\sqrt{\quad}\)(\(S^{2}\))=2S
したがって
16≧2S となって
S≦8
よってSの最大値は8