ワイエルストラス＝Weierstrass＝「有界な数列は極限を持つ」 で
いいのかしら？
（私、数学は高校までしか習ってないので、自信なし（＾０＾）
そのつもりで解きますね

さて証明

a＞1 なら明らかに a^(\(\frac{1}{n}\))＞1かつ a^(\(\frac{1}{n}\))＞a^(\(\frac{1}{n}\)+1)
よって｛a^(\(\frac{1}{n}\))｝は単調減少で、下界として1をもつ
したがって、｛a^(\(\frac{1}{n}\))｝は α(≧1)なる極限値を持つ

ここで α＞1なら
α-1＞h＞0 なる h が存在し
｛a^(\(\frac{1}{n}\))｝＞ α＞h+1
すなわち ｛a^(\(\frac{1}{n}\))｝＞ｈ+1 をみたすから
a＞(h+1\()^{n}\)
ところが、n→∞で右辺は発散するから矛盾

よって α＝1　■

こんなんでどうでしょうか？