＜質問１の解答＞
F(x)=\(x^{3}\)+a\(x^{2}\)+2x+b-3・・・①とおく。
P(x)で割った商がx-1、余りがx-2だから
F(x)=(x-1)P(x)+x-2・・・②とおける。
P(x)をx-2で割った商をQ(x)とすると、余りが-abだから
P(x)=(x-2)Q(x)-ab・・・③
①、②から
F(1)=a+b=-1・・・④
F(2)=4a+b+9=P(2)・・・⑤
③よりP(2)=-ab・・・⑥
④⑤⑥より
a+b=-1 ，4a+b+9=-ab
これを解いて
(a,b)=(-2,1),(4,-5)

＜質問２の解答＞
問題文の(x-2\()^{2}\)は(x-1\()^{2}\)の誤りであると思われます。
その前提で解答しました。
まず、
P(x)を(x-1\()^{2}\)で割った商をQ(x)をすると
P(x)=(x-1\()^{2}\)・Q(X)+4x-5・・・① とおける。
P(x)をx+2で割った商をR(X)をすると
P(x)=(x+2)・R(X)-4・・・② とおける。

(1)
P(1)=-1より x-1で割った余りは -1
【P(x)=(x-1\()^{2}\)・Q(x)+4(x-1)-1と変形してもわかります。】

(2)
P(x)を(x-1)(x+2)で割った商をS(x)とすると、
余りは１次以下の整式になるから
P(x)=(x-1)(x+2)・S(x)+ax+b・・・③とおける。
①③より、
P(1)=a+b=-1・・・④
②③より、
P(-2)=-2a+b=-4・・・⑤
④⑤を解いて　a=1，b=-2
よって、余りは　x-2

(3)
P(x)を(x-1\()^{2}\)・(x+2)で割った商をT(x)とすると、
余りは２次以下の整式になるから
P(x)=(x-1\()^{2}\)・(x+2)・T(x)+p\(x^{2}\)+qx+rとおける
ここで条件より、P(x)を(x-1\()^{2}\)で割った余りは、4x-5であるから
p\(x^{2}\)+qx+r=p(x-1\()^{2}\)+4x-5　とおくことができる。
したがって
P(x)=(x-1\()^{2}\)・(x+2)・T(x)+p(x-1\()^{2}\)+4x-5
②より　P(-2)=-4　だから
9p-8-5=-4　より　p=1
よって余りは
(x-1\()^{2}\)+4x-5=\(x^{2}\)+2x-4