次の極限値の計算をどうしたらよいのか見当がつきません。
どうか教えてください。
問：次の極限値を求めよ。
①lim x→0 (\(a^{x}\)-1)/x（a＞0）
(ロピタルの定理は使用しないで解く)
②lim n→∞ 1/\(n^{2}\)∑\(\sqrt{\quad}\)(\(n^{2}\)-\(k^{2}\))（k=1,1,2,…,n）
次の極限値の計算をどうしたらよいのか見当がつきません。
どうか教えてください。
問：次の極限値を求めよ。
①lim x→0 (\(a^{x}\)-1)/x（a＞0）
(ロピタルの定理は使用しないで解く)
②lim n→∞ 1/\(n^{2}\)∑\(\sqrt{\quad}\)(\(n^{2}\)-\(k^{2}\))（k=1,1,2,…,n）
①
f(x)=\(a^{x}\) とおくと、
f(0)=\(a^{0}\)=1 より
lim x→0 (\(a^{x}\)-1)/x
=lim x→0 ( f(x)-f(0) )/ (x-0)
=f'(0)
=\(a^{0}\) ・log a=log a
②
lim n→∞ 1/\(n^{2}\)∑\(\sqrt{\quad}\)(\(n^{2}\)-\(k^{2}\))（k=1,1,2,…,n）
=lim n→∞ \(\frac{1}{n}\)∑\(\sqrt{\quad}\)(1-(\(\frac{k}{n}\)\()^{2}\))（k=1,1,2,…,n）
=∫^1_0 \(\sqrt{\quad}\)(1-\(x^{2}\))dx
=∫^(π/2)_0 \(\sqrt{\quad}\)(1-si\(n^{2}\) t)cos t dt
=∫^(π/2)_0 co\(s^{2}\) t dt
=∫^(π/2)_0 (\(\frac{1}{2}\)+\(\frac{1}{2}\) cos 2t) dt
=\(\frac{1}{2}\) [t + \(\frac{1}{2}\) sin 2t]^(π/2)_0
=π/4
計算には全く自信なし。
論理の展開のみご参照下さい。
すみません。