屈折前のベクトルＥ(単位ベクトル)
法線ベクトルＮ(単位ベクトル)
物体１の屈折率n1、２の屈折率n2
上記４要素を用いて
屈折後のベクトルＥ'を求める。
スネルの法則により
n1・sinθ1 = n2・sinθ2
θ1...入射角
θ2...屈折角
cosθ1 = -E ・N
cosθ2 = -E'・N
sinθ1 = | E + Ncosθ1 |
sinθ2 = | E'+ Ncosθ2 |
E,E'は同方向なので絶対値記号"|"を外せる。
上記法則に代入しE'について整理すると、
E' =
(n\(\frac{1}{n}\)2)( E - N(\(\sqrt{\quad}\)((n\(\frac{2}{n}\)1\()^{2}\)-1+co\(s^{2}\)θ1)-cosθ1))
=
(n\(\frac{1}{n}\)2)( E - N(n・cosθ2-cosθ1) )
と変形することができる。
と、とある書籍には掲載されているのですが、
冒頭にある４要素のみでここまで変形させることが
できず困っています。
cosθ2の扱いをどうにか変形できればと思い
公式集も隅々まで調べたのですが手がかりは得られま
せんでした。
何か特殊な変形方法があるのでしょうか？
sinθ2 = | E'+ Ncosθ2 |より、
絶対値記号がとれて、
sinθ2 = E'+ Ncosθ2
E'＝sinθ2－ Ncosθ2……(1)
スネルの法則により
n1・sinθ1 = n2・sinθ2
sinθ2＝（n\(\frac{1}{n}\)2）・sinθ1
(1)に代入して、
E'＝（n\(\frac{1}{n}\)2）・sinθ1－ Ncosθ2……(2)
sinθ1 = | E + Ncosθ1 | より、
絶対値記号がとれて、
sinθ1 = E + Ncosθ1
(2)に代入して、
E'＝（n\(\frac{1}{n}\)2）・（E ＋ Ncosθ1）－ Ncosθ2……(3)
cos2θ2＝１－sin2θ2
スネルの法則により
sinθ2＝（n\(\frac{1}{n}\)2）・sinθ1を代入して、
cos2θ2＝１－（n\(\frac{1}{n}\)2）2・sin2θ1
平方根を取って、
cosθ2＝\(\sqrt{\quad}\)（１－（n\(\frac{1}{n}\)2）2・sin2θ1）
(3)に代入して、
E'＝(n\(\frac{1}{n}\)2)・(E＋Ncosθ1)－N\(\sqrt{\quad}\){１－(n\(\frac{1}{n}\)2)2・sin2θ1}
＝(n\(\frac{1}{n}\)2)・(E＋Ncosθ1)－N(n\(\frac{1}{n}\)2)\(\sqrt{\quad}\){(n\(\frac{2}{n}\)1)2－sin2θ1}
＝(n\(\frac{1}{n}\)2)・(E－N(\(\sqrt{\quad}\){(n\(\frac{2}{n}\)1)2－sin2θ1}－cosθ1））
sin2θ1=１－cos2θ1と置き換えて、
E'＝(n\(\frac{1}{n}\)2)・(E－N(\(\sqrt{\quad}\){(n\(\frac{2}{n}\)1)2－１＋cos2θ1}－cosθ1））
(3)より
E'＝（n\(\frac{1}{n}\)2）・｛E ＋ Ncosθ1－（n\(\frac{2}{n}\)1）Ncosθ2｝
＝（n\(\frac{1}{n}\)2）・｛E －Ｎ（（n\(\frac{2}{n}\)1）cosθ2－cosθ1）｝
（n\(\frac{2}{n}\)1）＝ｎとおくと、
E'＝（n\(\frac{1}{n}\)2）・｛E －Ｎ（ｎ・cosθ2－cosθ1）｝
以上の変形ができます。
ウィレブロルド・スネル（オランダ、1581～1626）が光の屈折現象の
観察から見つけた屈折の法則は有名な法則ですね。
n1・sinθ1 = n2・sinθ2
