こんなのを見つけました。
これでどうでしょうか？

http://mizuryu2.hp.infoseek.co.j\(\frac{p}{t}\)ouko\(\frac{u}{t}\)oukou27.html

y=f(x)をx軸を中心に回転した立体の表面積Sは
y=2π∫y\(\sqrt{\quad}\)(1+(y'\()^{2}\))dx であることを用いる

d\(\frac{x}{d}\)t=a(1-cos(t)), d\(\frac{y}{d}\)t=a sin(t)より
S=2π∫[0,2π]a(1-cos(t))\(\sqrt{\quad}\){1+sin(t)/(1-cos(t))}^2*a(1-cos(t)) dt
=2π\(a^{2}\)∫[0,2π](1-cos(t))\(\sqrt{\quad}\){2-2cos(t)}dt
=2π\(a^{2}\)∫[0,2π](2*sin(\(\frac{t}{2}\))*sin(\(\frac{t}{2}\)))*2*sin(\(\frac{t}{2}\))dt 　∵0～2πでは
sin(\(\frac{t}{2}\))>=0
=8π\(a^{2}\)∫[0,2π]{sin(\(\frac{t}{2}\))}^3 dt
ここで、
∫{sin(\(\frac{t}{2}\))}^3 dt=(-\(\frac{1}{4}\))*sin(3\(\frac{x}{2}\))+(\(\frac{3}{4}\))*sin(\(\frac{x}{2}\))より（途中計算省略）
=8π\(a^{2}\)∫[0,2π](-\(\frac{1}{4}\))*sin(3\(\frac{x}{2}\))+(\(\frac{3}{4}\))*sin(\(\frac{x}{2}\)) dt
=(\(\frac{64}{3}\))*π\(a^{2}\)

曲面の面積の求め方は適当な解析学入門の本で勉強してください。