はじめまして、りょうと申します。
手当たり次第に教科書や参考書に目を通したのですが、
以下の関係式の証明がどうしてもわかりません。
￣ 1 ｎ
x ＝ ― ∑ xi とするとき
n i=1
1 n 2 ￣2
― ∑ xi － x ≧ ０ であることを示せ。
ｎ i=1
という式です。観づらくなってしまい申し訳ありません。
先生は「因数分解を使うと楽に出来る」とおっしゃったのですが、
どこにどう使うかが分からず、思い切って投稿させていただきました。
お手数かけますが、よろしくおねがいします。
UnderBird です。よろしくお願いします。
問題のネタは、
Σ_(i=1)^(n) ((\(x_{i}\))-X\()^{2}\) >=0 ただしX=(\(x_{1}\)+\(x_{2}\)+・・・+\(x_{n}\))/n
ということです。
(各データとそのデータの平均の差を２乗したものの和は、
必ず0以上ですから)
これを下から上へ見ていけば証明になると思います。
もっとスマートにできるのでしょうが、とりあえず。
左辺=Σ_(i=1)^(n) ((\(x_{i}\)\()^{2}\)-2X\(x_{i}\)+\(X^{2}\))
=Σ(i=1)^(n) (\(x_{i}\)\()^{2}\)-2XΣ(i=1)^(n) (\(x_{i}\))+\(X^{2}\)Σ(i=1)^(n)1
=Σ(i=1)^(n) (\(x_{i}\)\()^{2}\)-2X*(nX)+n*\(X^{2}\)
=Σ(i=1)^(n) (\(x_{i}\)\()^{2}\)-n*\(X^{2}\)
よって、両辺をnで割れば
(\(\frac{1}{n}\))*Σ(i=1)^(n) (\(x_{i}\)\()^{2}\)-\(X^{2}\)>=0 Q.E.D.