UnderBirdです。

3ｎＣｎ=(3n)!/n!/(3n-n)!=3n!/(n!*(2n)!)
同様にして
3ｎＣｎ/2ｎＣｎ
=(3n)!n!/((2n)!*(2n)!)
={(3n)!/(2n)!}*{n!/(2n)!}
={3n*(3n-1)*(3n-2)*・・・*(2n+1)}/{2n*(2n-1)*(2n-2)*・・・ *(n+1)}
=(3\(\frac{n}{2}\)n)*(3n-1)/(2n-1)*(3n-2)/(2n-2)*・・・*(2n+1)/(n+1)・・・(1)
ここで、(3n-k)/(2n-k) (k=1,2,3,・・・n-1)と3\(\frac{n}{2}\)n=\(\frac{3}{2}\)を比較すると
(3n-k)/(2n-k)-\(\frac{3}{2}\)=k/{2(2n-k)}>0より
(1)式から
3ｎＣｎ/2ｎＣｎ>(\(\frac{3}{2}\)\()^{n}\)を得る。
(\(\frac{3}{2}\)\()^{n}\)→∞(n→∞)なので、3ｎＣｎ/2ｎＣｎ→∞(n→∞)

１８０１の問題なんですが、n→0に近づいたらどうなるでしょうか？

nCrにおいて、
n,rはn>=rであるような0以上の整数だから、n→0というのはこのままでは考えられま
せん。
（nが０にいくらでも近づくことはできませんね。）
ただし、n=0の場合は求められます。
nCr=n!/{r!*(n-r)!}と0!=1(これは定義されるもの)から、0C0=1を得るので
n=0のとき、3nC\(\frac{n}{2}\)nCn=1となる。
（ｒのみr=0の場合は二項定理などで現れるが、0C0は意味を持つのか少々疑問な部分
もあります）

ところで、このような疑問をもつことはとても大切なことです。この精神を忘れない
よう心がけてほしいです。
また、n!(階乗)についてもnは0以上の整数で定義されますがこれを拡張してガンマ関
数というのがあります。