1000題やればわかる・・・まぁそうでしょうが、ある程度のポイントはある
ように思います。
自分としては、置換で出来そうにないものは部分でと考えていますが。
それもいいのか悪いのか・・・
すぶに部分積分でできると気づけばそれはそれでいいでしょう。
それで、置換積分のポイントをいくつか・・
ただ、参考書には私がここに書くようなことは、書いてあるような気も
しますが・・・
なお、∫は省略して書きます。

f(g(x))g'(x)の形・・・g(x)=t
つまり g'(x)dx=dtとなってf(t)をtで積分です。

n_\(\sqrt{\quad}\)(ax+b)の形・・・丸ごと t

\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)-\(x^{2}\))を含む形 x=a･sint

\(\sqrt{\quad}\)(\(x^{2}\)+A)を含む形 x+\(\sqrt{\quad}\)(\(x^{2}\)+A)=t

f(\(e^{x}\))の形 \(e^{x}\)=t

三角関数の場合は

f(sinX)cosXの形 sinX=t
f(cosX)sinXの形 cosX=t
f(tanX,si\(n^{2}\)X,co\(s^{2}\)X)の形 tanX=t
f(sinX,cosX)の形 tan(X/2)=t・・・※
※の置換でほぼ全部の三角関数の積分ができるようですが、
計算が大変になることもあるので、場合に応じた置換が重要です。

1/(\(x^{2}\)+\(a^{2}\))の形 x=a･tant
sin cos の対称式からなる関数・・sinX-cosX=t

また三角関数の積分では次数を下げる工夫もよく使います。例えば
co\(s^{2}\)X=(1+cos2X)/2 はその典型です。

対数関数がからんでいる場合は

f'(x)/f(x)の形だと、積分するとlog|f(x)|・・これはよくある
パターンのようです。
被積分関数に対数が含まれている場合は、部分積分による場合が多い
ように思いますが、必ずしもそうではないこともあるようです。

定積分で、範囲が -a～a のようになっている場合は、偶関数ならば ×2
ですし、 奇関数なら0となることも知っておくとよいでしょう・・・
ちなみに、私はそれをよく見逃します（汗

こんなところでどうでしょうか
でも、実際には担任の先生が言うように、色々な問題を解いて見る
ことがいいのかもしれませんね。

きわめて不十分なアドバイスかもしれませんが、お許しを。