limαn=xが存在したとする。
3x=2-xを解き、x=\(\frac{1}{2}\)
b(n)=α(n-1)-\(\frac{1}{2}\)とすると、3b(n+1)=-b(n)となり、b(n+1)=(-\(\frac{1}{3}\))b(n)
b(1)=5-\(\frac{1}{2}\)=\(\frac{9}{2}\)だから、b(n)=(\(\frac{9}{2}\))(-\(\frac{1}{3}\))^(n-1)
α(n)=(\(\frac{9}{2}\))(-\(\frac{1}{3}\))^(n-1)+\(\frac{1}{2}\)

特性方程式 3x=2-xを解いて x=\(\frac{1}{2}\)
α(n+1)-\(\frac{1}{2}\)=(-\(\frac{1}{3}\)){α(n)-\(\frac{1}{2}\)}
よって
{α(n)-\(\frac{1}{2}\)}は初項α(1)-\(\frac{1}{2}\)=\(\frac{9}{2}\) 公比(-\(\frac{1}{3}\))の等比数列
・・・云々・・・とやるのが常套手段なんですが、
この問題を質問してきたとなると、
「どうしてか？」ってことなんだと思います。
二項間漸化式の基本中の基本ですので、覚えておきましょう。

与えられた漸化式を変形して
α(n+1)=(-\(\frac{1}{3}\))α(n)+\(\frac{2}{3}\)・・・①
これが前述したように、うまく等比数列に帰着するといいわけです。
そこで、
α(n+1)-s=t{α(n)-s}・・・②とおいてみます。
ここでsとtが上手く決まれば
数列{α(n)-s}は初項α(1)-s公比tの等比数列となるって訳です。
ならば、②を①の形に変形してみると
α(n+1)=t･α(n)+s(1-t)・・・③となります
③と①の係数を比較してみましょう
t=-\(\frac{1}{3}\)はすぐわかります。
s(1-t)=\(\frac{2}{3}\) より s=\(\frac{1}{2}\) となります。
これを②に代入して変形すると与えられた漸化式を確かに満たします。
つまり
{α(n)-\(\frac{1}{2}\)}は初項α(1)-\(\frac{1}{2}\)=\(\frac{9}{2}\) 公比(-\(\frac{1}{3}\))の等比数列ってことになる訳です
ならば
α(n)-(\(\frac{1}{2}\))=(\(\frac{9}{2}\))(-\(\frac{1}{3}\))^(n-1)となって
整理整頓すると
α(n)=(\(\frac{1}{2}\)){9(-\(\frac{1}{3}\))^(n-1)+1}となります。

次のページはかなり参考になると思います。
http://www.graco.c.u-tokyo.ac.jp/~kashiw\(\frac{a}{p}\)rin\(\frac{t}{s}\)u\(\frac{u}{n}\)ode18.html