変数を変更します。
ｙ¨＋ｙ＝ｋｙ⁴として、考えてみましょう。
まず、補助方程式　ｙ¨＋ｙ＝０　を解くと、
ｙ＝Ａsinｘ＋Ｂcosｘという補助方程式の一般解が求まりま
す。しかし、右辺の　ｋｙ⁴　がはいると、
問題の微分方程式の特殊解が求まりません。
これが求まれば、答が
ｙ＝Ａsinｘ＋Ｂcosｘ＋（特殊解）
となるはずなのですが……？
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これから先はギブアップです。
どなたかヒント下さい。
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※未解決問題に移したところ、星野さんからアドバイスをいただきました。
感謝！！

先ず常套手段として (t が式の中に現れないので)
p = u' と置く。
u" = d\(\frac{p}{d}\)t = (d\(\frac{p}{d}\)u)(d\(\frac{u}{d}\)t) = (d\(\frac{p}{d}\)u)p
(by chain law).

従って u" + u = k\(u^{4}\) は
p(d\(\frac{p}{d}\)u) + u = k \(u^{4}\)
となり
p d\(\frac{p}{d}\)u = k \(u^{4}\) - u
従って
∫p dp = ∫(k \(u^{4}\) - u) du
\(p^{2}\) / 2 = k \(u^{5}\) / 5 - \(u^{2}\) / 2 + C/2
(u'\()^{2}\) = 2k \(u^{5}\) / 5 - \(u^{2}\) / 2 + C,
C は任意定数。

なのですが,結局
t = ∫du/\(\sqrt{\quad}\)(2k \(u^{5}\) / 5 - \(u^{2}\) / 2 + C)
になりますよね ?
これは超楕円積分とかいって, これ以上計算できないのだと思いました
けど...。それともここまで出せばいいのかしらん ?