f(x)=-(x-1\()^{2}\)+1　だから
(0,0)(1,1)(2,0)を通る上に凸な放物線ですね。
つまり、これだけ考えれば
x=1のとき最大値が1ってことになります。
a≦x≦a+2　っていうのは、区間の長さ（幅）が２ですから、
aの値によって、f(x)の取りうる値が変わってくるわけです。
この放物線のグラフをイメージしながら考えると、
a+2＜1すなわちa＜-1であれば、
x=a+2のとき常に最大となりますから
F(a)=f(a+2)=-\(a^{2}\)-2a
この放物線の軸(x=1)がa≦x≦a+2に含まれる場合
つまり-1≦a≦1のとき
F(a)=1
a>1のときは、(a)が最大となるから
F(a)=f(a)=-\(a^{2}\)+2a

この三つをグラフにすればＯＫです。