（１）
ｘ＋\(\sqrt{\quad}\)（１＋ｘ^2）＝ｔと置いて
\(\sqrt{\quad}\)（１＋ｘ^2）＝（ｔ^2＋１）／２ｔ
ｄｘ＝（ｔ^2＋１）／２ｔ^2
与式＝∫（１／ｔ）ｄｔ＝ｌｏｇ｜ｔ｜＋Ｃ
＝ｌｏｇ｜ｘ＋\(\sqrt{\quad}\)（１＋ｘ^2）｜＋Ｃ

（２）
（１）と同様に置換積分です。

（３）
分母と分子に　ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ　をかけて
ｓｉｎθ／（ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）
＝（１／２）－ｃｏｓ２θ／２（１＋ｓｉｎ２θ）
あとは
ｃｏｓ２θ＝ｄ（１＋ｓｉｎ２θ）／ｄｘと考えて置換積分です。

（４）
ｘ＝（ｔａｎθ）^(\(\frac{2}{3}\))と置換してみましたがどうもうまくいきません・・・
また、部分分数化を試みましたが、できそうでできない・・・
http://www.phoenix-c.or.jp/~tokiok\(\frac{a}{i}\)ntegra\(\frac{l}{i}\)ntegral.html
これを参考にしてみましたが・・・いまいちです。

（５）
どうやら　２／π　となるようです
高校の積分の範囲でできるのでしょうかねぇ？