無限数列｛\(a_{n}\)｝を
\(a_{1}\)=c , \(a_{n}\)+1=(a_\(n^{2}\)-1)/n (ｎ≧1)
で定める。ここでcは定数とする。
(１)c=2のとき、一般項\(a_{n}\)を求めよ。
(２)c≧2ならば、lim\(a_{n}\)=∞(n→∞)になることを示せ。
(３)c=\(\sqrt{\quad}\)2のとき、lim\(a_{n}\)(n→∞)の値を求めよ。
(２)(３)をお願いします。
無限数列｛\(a_{n}\)｝を
\(a_{1}\)=c , \(a_{n}\)+1=(a_\(n^{2}\)-1)/n (ｎ≧1)
で定める。ここでcは定数とする。
(１)c=2のとき、一般項\(a_{n}\)を求めよ。
(２)c≧2ならば、lim\(a_{n}\)=∞(n→∞)になることを示せ。
(３)c=\(\sqrt{\quad}\)2のとき、lim\(a_{n}\)(n→∞)の値を求めよ。
(２)(３)をお願いします。
(2)
数学的帰納法で\(a_{n}\)≧n+1を示す。
\(a_{1}\)=c≧2だから正しい。
n=kのとき\(a_{k}\)≧k+1と仮定すると
a_(k+1)={(\(a_{k}\)\()^{2}\)-1}/k≧{(k+1\()^{2}\)-1}/k=k+2となるので、n=k+1のときも正しい。
よって数学的帰納法より任意の自然数nに対して
\(a_{n}\)≧n+1となる。
よって
n→∞のとき\(a_{n}\)→∞となる。
(3)
\(a_{2}\)=(2-1)/2=\(\frac{1}{2}\)
ここでn≧2のとき|\(a_{n}\)|＜1となることを示す。
数学的帰納法で示す。
n=2のとき\(a_{2}\)=\(\frac{1}{2}\)
n=k(≧2)のとき正しいと仮定すると
|\(a_{k}\)|＜1
|a_(k+1)|=|1-(\(a_{k}\)\()^{2}\)|/k＜\(\frac{1}{k}\)＜1となるからn=k+1のときも正しい。
よってn≧2なる任意の自然数nに対して|\(a_{n}\)|＜1となることがわかる。
よって、nをn≧3なる任意の自然数とすると
0≦|\(a_{n}\)|=|1-{a_(n-1)}^2|/(n-1)＜1/(n-1)となる。
n→∞とおくと1/(n-1)→0となるから
n→無限大となるとき、\(a_{n}\)→0となる。