中学までの数学は、「数」の概念を「大きさ」だけで考えてきました。
（これをベクトルに対してスカラーといいます。）
ベクトルとは、大きさと「向き（方向）」が伴ったものをいいます。
詳しくは
http://www.geocities.co.jp/Technopoli\(\frac{s}{1505}\)/index2.htm
このページの数学Ｂ・ベクトルを参照してください。

①cosってなに？についてですが
直角三角形（三平方の定理も利用します）の三辺の比を考えるアプローチと
原点中心の半径１の円（単位円といいます）からのアプローチがあります。
（私はいつも単位円で考える癖があります）
どちらにしても結果は同じことになります。
解説は
http://www.geocities.co.jp/Technopoli\(\frac{s}{1505}\)/sin.htm
がいいと思います。

②ベクトルのわり算？
先ほどのベクトルのページにもわり算については解説はないと思います。
ベクトルの内積など、
わり算が伴う場合（二つのベクトルのなす角を求める場合など・・）ありますが、
具体例がないとなんとも言えません。
ただ、わり算が伴う場合でも、それはベクトルの「大きさ」に関してわり算する
のであって、ベクトルそのものでわり算をするということは、高度な数学のことは
わかりませんが、少なくとも高校数学の範囲には出てきません。

③ベクトルの活用は？
これは私などが偉そうに解説できるものではありませんが、とにかくたくさんある
と思います。
走り高跳びでどうやってより高く飛ぶか・・と考えると
踏み切る瞬間の「助走のベクトル」・・つまり地面に平行な力と
「ジャンプのベクトル」（背面跳びは後ろに反り返るように踏み切りますね・・
反り返った方向に向いた力）を合成（ベクトルの和）したものが最大になるような
飛び方をすれば、より高く飛べるというイメージになると思います。

④チェバ、メネラウスをベクトルで・・・
ベクトルａをv(a)と書くことにします。
v(AB)=v(a) v(AC)=v(b)とします。
※　DP:PC=m:nだとすると
点Pは線分DCをm:nに内分するから
v(AP)={nv(AD)+mv(AC)}/(m+n)とおけます。
分解すると
v(AP)={n/(m+n)}v(AD)+{m/(m+n)}v(AC)
={(m+n)/(m+n)-m/(m+n)}v(AD)+{m/(m+n)}v(AC)
0＜m/(m+n)＜1だから※
（通常※～※は省略します。）
0＜t＜1 として　v(AP)=(1-t)v(AD)+tv(AC)とおけます。
v(AD)=(\(\frac{1}{3}\))v(a) v(AC)=v(b) だから
v(AP)=(\(\frac{1}{3}\))(1-t)v(a)+tv(b)・・・①

同じように考えて
点Pは線分BCを内分するから
0＜s＜1として
v(AP)=(1-s)v(AE)+s(AB)
v(AE)=(\(\frac{3}{4}\))v(b) v(AB)=V(a) だから
v(AP)=(\(\frac{3}{4}\))(1-s)v(b)+s(a)・・・②
v(a),v(b)は零ベクトルではなく、平行でもないから
①と②の係数を比較して
(\(\frac{3}{4}\))(1-s)=t (\(\frac{1}{3}\))(1-t)=s
よって　t=\(\frac{2}{3}\) s=\(\frac{1}{9}\)
CP:PD=(1-t):t=1:2
BP:PE=(1-s):s=8:1

こんな感じですかねぇ
計算に誤りが無ければ
AP:PQ=7:2　になると思います。
自分でやってみてください。

それにしても中学２年生でここまで勉強してるんですかぁ・・
頑張ってくださいね。

何度もぁりがとうございます！！
ぇっと、まず・・・
「三角関数」っていうのがゎからなぃです；；
ぁのホームページ見て見ましたが・・・よくわかりませんでした。。
ぁの、COSっていうのは三角関数を習わないと解けませんか？？
それから、割り算については勘違いかもしれません；；ごめんなさぃ。
最後に、メネラウスをベクトルで解く問題・・・。
もぅちょっとじっくり式を見て見ます！！
でもぁんなにいっぱい書いてくださってぁりがとうございました！！
とても親切な方だと思いました！！

なんか一生懸命な姿勢が伝わってきますね。

cosのことですが
そうですねぇ・・・ます三角比なり三角関数を理解しないと辛いでしょうねぇ・・・
まぁ、sinもtanも同じかも知れませんが
直角三角形の辺の比となると、それぞれの角は180°を超えることはありません。
だから、三角関数ということになると、単位円で考えた方がいいのかなぁ？って
勝手に思ってます（汗）
ただ、三角関数そのものが理解できていないようなので、高校数学の指導要領って
のはよくわかりませんが、参考書なり、教科書なり順次勉強していくといいのでは
ないでしょうか？・・・

ちなみに、ベクトルに関しては、内積というのは高校数学で重要なのでしょうが、
ベクトルの成分を考えるのか、ベクトルのなす角を考えるのか・・・ってのがあり
まして、なす角を考えるときには、三角関数を知っている必要があります。
（詳しくは書きませんが・・・）

三角関数というのは・・・「意味がわからない」ってことこから始まっていいんだ
と思います。結局道具として使うわけですから・・複素数（特にド・モアブルの定
理）や行列の回転（実は、三角関数の加法定理は、複素数からのアプローチもあれ
ば、行列からのアプローチもあります）などを学んでいくと、なるほど、三角関数
はこんなに重要（おもしろい）なんだぁ・・ってことが分かってくると思います。
ちなみに、私が高校のときは、三角関数の加法定理は行列からのアプローチで学び
ました、最近はあまりそういうアプローチはしないようですねぇ・・・

中学生にはちょっとわかりにくいかもしれませんが、教員でもない私からは、こん
なことしかか言えません・・・ごめんなさい。
ただ、高校の数学っていうのは、行列とベクトル、複素数と三角関数、複素数とベ
クトル・・・などなど、習う順番は色々でしょうけど、どれも密接に関連してきま
す。
チェバ、メネラウスをベクトルで・・・の回答は、私なりに思いついた回答ですの
で、もしかしたらもっといい回答があるのかもしれません。
チェバ、メネラウスの定理をそのまま使うと、そう難しくない問題も、ベクトルの
性質を使ってということなので、こんな感じかなぁ？ってやってみました。
きっと「なんだぁ？」って感じになるとおもいますが、お許しください。
願うことは、「数学が好き！」となってくれることです。まぁ、数学は難しいけど
おもしろいって思ってくれたら嬉しです。

合宿に行っていました；Д；
返信遅れてすいません。。

ぁと・・・せっかく書いてくださった式・・・。
ごめんなさぃ。まだもうちょっと頑張って読んでみますね＾＾

また②、お答えくださってぁりがとうございます！
誠に勝手なんですけど、
もぅすぐ夏休みが終わっちゃって、
これ、宿題なので、できればなるべく早く
お答えいただけると嬉しいです！
本当にわがまま言ってすいません

なるべく早くとのことですが・・・
どの部分のことでしょうか？

ぁッッΣ（σ｀Д´）σ

ごめんなさい！！なんか意味不明なこと書いてました。
もぅ解決していました！！
ごめんなさい！！＆根気良く付き合ってくれてありがとうございました！