初めまして。
解答の無い院試問題に悩んでおります。
微積分学の問題で、２問よろしくお願いします。
①sinxy=\(\frac{1}{3}\) の時、\(d^{2}\)\(\frac{y}{d}\)\(x^{2}\) の値は？
②積分 ∫1/(\(x^{2}\)+a)dx の値は？（ａは定数）
高校数学の問題ではないのですが、宜しくお願いします。
初めまして。
解答の無い院試問題に悩んでおります。
微積分学の問題で、２問よろしくお願いします。
①sinxy=\(\frac{1}{3}\) の時、\(d^{2}\)\(\frac{y}{d}\)\(x^{2}\) の値は？
②積分 ∫1/(\(x^{2}\)+a)dx の値は？（ａは定数）
高校数学の問題ではないのですが、宜しくお願いします。
from UnderBird
1問目は、強引にxy=arcsin(\(\frac{1}{3}\))より、y={arcsin(\(\frac{1}{3}\))}/xを2階微分しても
求められますが、
陰関数の微分を用いることを求めているとおもわれるので
F(x,y)=sin(xy)-\(\frac{1}{3}\)のとき
d\(\frac{y}{d}\)x=y'=-\(F_{x}\)/\(F_{y}\)
\(d^{2}\)\(\frac{y}{d}\)\(x^{2}\)=y''=-{\(F_{x}\)x+2(\(F_{x}\)y)y'+(\(F_{y}\)y)(y'\()^{2}\)}/\(F_{y}\)
より、y''=2y/\(x^{2}\)
2問目は、a＜0のときとa≧0の場合に分けて考える。
a＜0のとき、∫1/(\(x^{2}\)+a) dx=(\(\frac{1}{2}\)\(\sqrt{\quad}\)(-a))∫1/{(x-\(\sqrt{\quad}\)(-a))-1/(x+\(\sqrt{\quad}\)(-a))
=(\(\frac{1}{2}\)\(\sqrt{\quad}\)(-a))log|{x-\(\sqrt{\quad}\)(-a)}/{x+\(\sqrt{\quad}\)(-a)}|
a≧0のとき、∫1/(\(x^{2}\)+a) dx=∫1/(\(x^{2}\)+(\(\sqrt{\quad}\)a\()^{2}\)) dx
=(1/\(\sqrt{\quad}\)a)arctan(x/\(\sqrt{\quad}\)a)