思いつくままにやってみました。
ベクトルは使いませんでした（笑

まず、円に内接する四角形の対角の和は１８０°であることはいいでしょうか？
次に、三角関数をつかった三角形の面積と余弦定理を理解している前提で解答します。
四角形ＡＢＣＤの面積をＳとします。
∠ＡＢＣ＝θとすると
△ＡＢＣ＝（１／２）ＡＢ・ＡＣｓｉｎθ
＝（１／２）×１×２×ｓｉｎθ
＝ｓｉｎθ
△ＤＡＣ＝（１／２）ＤＡ・ＤＣｓｉｎ（１８０°－θ）
＝（１／２）×４×３ｓｉｎ（１８０°－θ）
＝６ｓｉｎ（１８０°－θ）
＝６ｓｉｎθ
Ｓ＝△ＡＢＣ＋△ＤＡＣだから
Ｓ＝７ｓｉｎθ・・・①

次に、ＡＣ＝ｔとおいて
△ＡＢＣにおいて、余弦定理から
ｔ^2＝（ＡＢ）^2＋（ＢＣ）^2－２ＡＢ・ＢＣｃｏｓθ
＝１＋４－４ｃｏｓθ
よって
ｃｏｓθ＝（５－ｔ^2）／４・・・②
△ＤＡＣにおいて、余弦定理から
（途中計算省略）
ｃｏｓθ＝（ｔ^2－２５）２４・・・③
②③から
ｔ^2＝５５／７
これを②に代入して
ｃｏｓθ＝－５／７
ｓｉｎθ＝\(\sqrt{\quad}\)（１－ｃｏｓ^2θ）
＝\(\sqrt{\quad}\)｛１－（２５／４９）｝
＝\(\sqrt{\quad}\)（２４／４９）
＝２\(\sqrt{\quad}\)６／７
従って①より
Ｓ＝７ｓｉｎθ＝２\(\sqrt{\quad}\)６・・・（答）

∠CDA=:t と置くと、∠ABC=π-t より、
\(3^{2}\)+\(4^{2}\)-2*3*4*cos(t) = \(1^{2}\)+\(2^{2}\)+2*1*2*cos(t) 従って cos(t)=\(\frac{5}{7}\) 。
sin(t)=sin(π-t)=2*Sqrt(6)/7 より、面積は
(\(\frac{1}{2}\))*3*4*sin(t)+(\(\frac{1}{2}\))*1*2*sin(π-t) = 2*Sqrt(6) 。

wakkyさん、わかりやすい回答ありがとうございます。
なんとなくわかりはするのですがあの回答でわからないところがあります。
wakkyさんは、△DACとおいていましたが、△CADとおいてはいけないのでしょうか？
また、△DACに対する余弦定理で省略しているところがありますが、
なぜあの答えになるのか教えていただけませんか？
自分なりに解きなおしたらどうも答えが一致しません。
再度、教えてください。
お願いします。

まず△ＤＡＣと△ＣＡＤは同じ三角形です。
まぁ、△ＡＢＣと言ったので、余弦定理の対象となる角と頂点の位置関係から
すると、△ＢＣＡと言うべきだったかもしれませんね。
そうすると△ＤＡＣと角と頂点の位置関係が一致しますね。
そこまで厳格にはとらえませんでした。

（途中計算省略）の部分は
△ＤＡＣにおいて、余弦定理から
ｔ^2＝（ＤＡ）^2＋（ＤＣ）^2－２・ＤＡ・ＤＣ・ｃｏｓ（１８０°－θ）
＝１６＋９＋２４ｃｏｓ（１８０°－θ）
＝２５－２４ｃｏｓθ
※【ｃｏｓ（180°－θ）＝－ｃｏｓθですから】
従って
ｃｏｓθ＝（ｔ^2－２５）／２４
【割り算を意味する／が抜けていましたね（汗）
もしそれで混乱させたのなら、ごめんなさい。】