a,b,p,qはすべて自然数で、
(\(p^{2}\)+\(q^{2}\))/a＝p\(\frac{q}{b}\)
を満たしている。aとbの最大公約数が１のとき以下の問いに答えよ。
(１)pqはbで割り切れることを示せ。
(２)\(\sqrt{\quad}\)(a+2b)は自然数であることを示せ。
です。(２)をお願いします。
a,b,p,qはすべて自然数で、
(\(p^{2}\)+\(q^{2}\))/a＝p\(\frac{q}{b}\)
を満たしている。aとbの最大公約数が１のとき以下の問いに答えよ。
(１)pqはbで割り切れることを示せ。
(２)\(\sqrt{\quad}\)(a+2b)は自然数であることを示せ。
です。(２)をお願いします。
題意から d:=(\(p^{2}\)+\(q^{2}\),pq) と置けば a=(\(p^{2}\)+\(q^{2}\))/d, b=p\(\frac{q}{d}\).
従って d が平方数であることを示せばよい。
k:=(p,q) と置き、p':=\(\frac{p}{k}\), q':=\(\frac{q}{k}\) と置く。
実は d=\(k^{2}\) であることを示す。
(p'^2+q'^2,p'q')=(p'q',(p'+q'\()^{2}\))=e＞1 と仮定する。
e の素因子の一つを r と置くと、排他的に r|p' または r|q'.
r|(p'+q'\()^{2}\) より r|(p'+q') これは矛盾である。