質問＜１８５８＞の(x-r\()^{2}\)+(y-s\()^{2}\)≦\(\frac{1}{2}\)(\(r^{2}\)+\(s^{2}\))の右辺は、
1/{2(\(r^{2}\)+\(s^{2}\))}の意味ですか？それとも
(\(r^{2}\)+\(s^{2}\))/2の意味ですか？
題意から見て後者のほうではないかと思いますが・・・。

後者の(\(r^{2}\)+\(s^{2}\))/2の方です。すいません。お願いします。

from=UnderBird
原点から点(a,b)までの距離r=\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)+\(b^{2}\))のうち格子点を１つも含まないため
には、半径rが1/\(\sqrt{\quad}\)2未満でなくてはいけない。
（なぜなら、1辺の長さが１の正方形の４頂点を通る円の半径以上は、
中心がどこにあっても必ず、少なくとも１つ以上の格子点を含むからである）
よって、
(x-a\()^{2}\)+(y-b\()^{2}\)≦(\(a^{2}\)+\(b^{2}\))/2の半径は\(\sqrt{\quad}\){(\(a^{2}\)+\(b^{2}\))/2}だから
\(\sqrt{\quad}\){(\(a^{2}\)+\(b^{2}\))/2}＜1/\(\sqrt{\quad}\)2　でなくてはならない(必要条件）
すなわち、
\(a^{2}\)+\(b^{2}\)＜1から
円の中心(a,b)は原点中心半径1の円の内部である。
この条件の中で、円の半径は、原点から点(a,b)までの距離が大きくなるに
したがって大きくなるので
円内に格子点を含む可能性のあるのは4点(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)であり。
これが、(x-a\()^{2}\)+(y-b\()^{2}\)≦(\(a^{2}\)+\(b^{2}\))/2に含まれなければよい。
よって、
\(a^{2}\)+\(b^{2}\)>(\(a^{2}\)+\(b^{2}\))/2
(1-a\()^{2}\)+\(b^{2}\)>(\(a^{2}\)+\(b^{2}\))/2
\(a^{2}\)+(\(1^{b}\)\()^{2}\)>(\(a^{2}\)+\(b^{2}\))/2
(1-a\()^{2}\)+(1-b\()^{2}\)>(\(a^{2}\)+\(b^{2}\))/2
を満たせばよい。

よってa>=0,b>=0から
それぞれ、以下の条件を満たす領域が求めるものである。
a=b=0を除く
(a-2\()^{2}\)+\(b^{2}\)>2
\(a^{2}\)+(b-2\()^{2}\)>2
(a-2\()^{2}\)+(b-2\()^{2}\)>4