△ABCの重心をＧ、任意の点をＰとするとき
P\(A^{2}\)+P\(B^{2}\)+P\(C^{2}\)=G\(A^{2}\)+G\(B^{2}\)+GC~2+3P\(G^{2}\)
が成り立つことを証明せよ。
△ABCの重心をＧ、任意の点をＰとするとき
P\(A^{2}\)+P\(B^{2}\)+P\(C^{2}\)=G\(A^{2}\)+G\(B^{2}\)+GC~2+3P\(G^{2}\)
が成り立つことを証明せよ。
直線ＡＧと辺ＢＣの交点をＤとし、
→ → → → → →
ＰＡ＝ａ，ＰＢ＝ｂ， ＰＣ＝ｃ とします。
まず
左辺＝ＰＡ^2＋ＰＢ^2＋ＰＣ^2
→ → →
＝｜ａ｜^2＋｜ｂ｜^2＋｜ｃ｜^2・・・①
Ｇは△ＡＢＣの重心だから、Ｄは辺ＢＣの中点になります。
よって
→ →
ＰＤ＝１／２（ｂ＋ｃ）
Ｇは辺ＡＤを２：１に内分する点だから
→ → →
ＰＧ＝１／３（２ＰＤ＋ａ）
→ → →
＝１／３（ａ＋ｂ＋ｃ）
→ → →
ＧＡ＝ａ－ＰＧ
→ → →
＝１／３（２ａ－ｂ－ｃ）
→ →
ＧＢ＝ｂ－ＰＧ
→ → →
＝１／３（－ａ＋２ｂ－ｃ）
→ →
ＧＣ＝ｃ－ＰＧ
→ → →
＝１／３（－ａ－ｂ＋２ｃ）
あとは右辺を地道に計算して
→ → → →
右辺＝｜ＧＡ｜^2＋｜ＧＢ｜^2＋｜ＧＣ｜^2＋３｜ＰＧ｜^2
（途中計算省略）
→ → →
＝｜ａ｜^2＋｜ｂ｜^2＋｜ｃ｜^2・・・②
①②より
左辺＝右辺 が証明されました。