２次方程式の解の公式から明らかです。
ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）において
実数解を持たない場合は
ｂ^2－４ａｃ＜０ですから
その解は
－ｂ\(\pm\)ｉ・\(\sqrt{\quad}\)（４ａｃ－ｂ^2）
ｘ＝ ---------------------------
２ａ

－ｂ ｉ・\(\sqrt{\quad}\)（４ａｃ－ｂ^2）
----＝ｐ ----------------------＝ｑ とおくと
２ａ ２ａ

α＝ｐ＋ｑｉ とすれば
もう一つの解は
ｐ－ｑｉ＝αの共役な複素数

from UnderBird

複素数αの共役複素数を本当はαの上にバーを書くのですが、
できないのでα’で代用します。
まず、複素数α、βにおいて
　(αβ)’＝α’β’
　（α\(\pm\)β）’＝α’\(\pm\)β’
　（α/β）’＝α’/β’
が成り立つ。（※確認してください）
また、αが実数ならば、α’＝αです。

さて、αがxに関する2次方程式ax＾2＋bx＋c＝0の解であるから
ａ(α＾2)＋ｂα＋ｃ=0　
両辺の共役複素数を取ると
（ａ(α＾2)＋ｂα＋ｃ）’=0’　より
ａ’｛(α’)＾2｝＋b’α’＋c’=0’
ここで、ａ，ｂ，c，0は実数だから
ａ｛(α’)＾2｝＋bα’＋c=0　がなりたつ。
これは、x=α’ が ax＾2＋bx＋c＝0 の解であることを示している。

複素数pの共役複素数をconj(p)であらわす。(1) conj(p+q)=conj(p)+conj(q)
(2) conj(pq)=conj(p)conj(q)
が成り立つ。
αがa\(x^{2}\)+bx+c=0の解であるならばaα^2+bα+c=0
conj(aα^2+bα+c)=conj(0)
ここでa,b,c,0は実数だから
aconj(α\()^{2}\)+bconj(α)+c=0
となる。つまり、conj(α)も解になる。