{(1+sinθ+icosθ)/(1+sinθ-icosθ)}^n=cosn(90°-θ)+isinn(90°-θ）
を証明せよ。（nは正整数をする）
という問題を教えてくださる方、お願いしたいのですが・・・。
★希望★完全解答★
{(1+sinθ+icosθ)/(1+sinθ-icosθ)}^n=cosn(90°-θ)+isinn(90°-θ）
を証明せよ。（nは正整数をする）
という問題を教えてくださる方、お願いしたいのですが・・・。
★希望★完全解答★
x=90°-θ とおくと θ=90°-x
sin(90°-x)=cosx , cos(90°-x)=sinx だから
1+sinθ+icosθ=1+cosx+isinx
1+sinθ-icosθ=1+cosx-isinx
(1+sinθ+icosθ)/(1+sinθ-icosθ)
=(1+sinθ+icosθ\()^{2}\)/(1+sinθ-icosθ)(1+sinθ+icosθ)
={co\(s^{2}\)x+cosx+isinx(1+cosx)}/(1+cosx)
={cosx(1+cosx)+isinx(1+cosx)}/(1+cosx)
=cosx+isinx
よって
ド・モアブルの定理から
左辺=(cosx+isinx\()^{n}\)=cos(nx)+isin(nx)
=cos{n(90°-θ)}+isin{n(90°-θ)}
（証明終わり）