21-20iは虚数と言うよりも、複素数と言うべきですね。

21-20iの平方根をAとおくと
A＾2＝21-20iで
Aをa＋bｉとすると
（a＋bi）＾2＝21-20i
a＾2＋2abi－b＾2＝21－20i
a＾2－b＾2＝21、2abi＝－20i

ここまではきちんと出来てると思いますよ。
実部と虚部の係数比較をすればいいですね。

ab=-10 だから　b=-\(\frac{10}{a}\)
\(a^{2}\)-(100/\(a^{2}\))-21=0
\(a^{4}\)-21\(a^{2}\)-100=0
これは因数分解できて
(\(a^{2}\)-25)(\(a^{2}\)+4)=0
aは実数だから\(a^{2}\)+4>0
よって　\(a^{2}\)a=25　より
a=\(\pm\)5,b=-+2(復号同順）
よって求める複素数は
5-2i , -5+2i