X=sinθ，Y=cosθ　とおくと。
(X+Y\()^{2}\)=1+2sinθcosθより
sinθcosθ={(X+Y\()^{2}\)-1}/2

(X+Y\()^{3}\)=\(X^{3}\)+\(Y^{3}\)+3XY(X+Y)
=-1+3(X+Y){(X+Y\()^{2}\)-1}/2
=-1+(\(\frac{3}{2}\))(X+Y\()^{3}\)-(\(\frac{3}{2}\))(X+Y)
ゆえに
(X+Y\()^{3}\)-3(X+Y)-2=0
X+Y=tとおくと
\(t^{3}\)-3t-2=0
(t+1\()^{2}\)(t-2)=0
よって　t=-1,2
ここで
t=sinθ＋cosθ=\(\sqrt{\quad}\)2{sin(θ+π/4)}
したがって　-\(\sqrt{\quad}\)2≦t≦\(\sqrt{\quad}\)2　となるから
t-2＜0　より　t≠2
ゆえに　t=-1
以上のことから

sinθ+cosθ=-1・・・（答）