はっきり言って計算に自信ありません（汗
解答の結果が書いてあれば、確認できるんですけど
解き方は概ねいいだろうと思いますので書いてみました。

まず、y=x\(e^{x}\)　をxで微分して
グラフの増減表を作ります（省略）
そうすると
原点を通り、x＜-1で減少　x>-1で増加
x=-1のとき極小値-\(\frac{1}{e}\)となることが分かります。
これでだいたいのグラフの形が見えてきます。
そこで点(\(\frac{1}{2}\),0)からは確かに２本の接線が引けそうだということも
見えてきます。

そこで、点(\(\frac{1}{2}\),0)を通る直線とこの曲線の接点を
(t,t\(e^{t}\))と置きます。
そうするとこの接線の方程式は
y'=\(e^{x}\)(x+1)だから
y=\(e^{t}\)(t+1)(x-t)+t\(e^{t}\)　となります。
この接線が点(\(\frac{1}{2}\),0)を通るから
x=\(\frac{1}{2}\) y=0　を代入して整理すると
\(e^{t}\)(2t+1)(t-1)=0
\(e^{t}\)>0　だから　t=-\(\frac{1}{2}\)，1
これで接点のふたつのx座標が求まりました。
あとはこつこつ積分計算するだけです。
この計算に自信がない・・・（汗）

積分に際して、曲線y=x\(e^{x}\)　と　直線y=(-\(\frac{1}{2}\))e^(-\(\frac{1}{2}\))
と　直線x=1　に囲まれた部分を先に計算すると
(\(\frac{9}{4}\))e^(-\(\frac{1}{2}\))となって、
あとは余分な三角形と台形の面積を引くと
(\(\frac{3}{2}\))e(-\(\frac{1}{2}\))-\(\frac{e}{4}\)　が答になりました・・・あってるかなぁ？