できるだけ複数の回答を知りたいので
別解も御教授頂けると嬉しいです。
問 次の命題を証明せよ
(1) xy=0⇔|x+y|=|x-y|
(2) |x|+|y|＜1⇒|x|＜1かつ|y|＜1
(3) ab＞0かつbc＞0はabc＞0の必要条件でも十分条件でもない
どうぞよろしくお願いします
★希望★完全解答★
できるだけ複数の回答を知りたいので
別解も御教授頂けると嬉しいです。
問 次の命題を証明せよ
(1) xy=0⇔|x+y|=|x-y|
(2) |x|+|y|＜1⇒|x|＜1かつ|y|＜1
(3) ab＞0かつbc＞0はabc＞0の必要条件でも十分条件でもない
どうぞよろしくお願いします
★希望★完全解答★
（１）
①ｘｙ＝０ならばｘ＝０またはｙ＝０
ｘ＝０のとき
｜ｘ＋ｙ｜＝｜ｙ｜
｜ｘ－ｙ｜＝｜－ｙ｜＝｜ｙ｜
よって｜ｘ＋ｙ｜＝｜ｘ－ｙ｜
ｙ＝０のときも同様
②｜ｘ＋ｙ｜＝｜ｘ－ｙ｜ならば
（ｘ＋ｙ）^2＝（ｘ－ｙ）^2より
４ｘｙ＝０
よってｘｙ＝０
①②より命題が証明された。
（２）
待遇を示せばよい
｜ｘ｜≧１または｜ｙ｜≧１ならば明らかに
｜ｘ｜＋｜ｙ｜≧１
したがってその待遇から
｜ｘ｜＋｜ｙ｜＜１ならば｜ｘ｜＜１かつ｜ｙ｜＜１である。
（３）
判例があることを示せばよい。
ａ＝－１，ｂ＝－１，ｃ＝－１のとき
ａｂ＞０かつｂｃ＞０であるが
ａｂｃ＜０となり十分条件ではない。
ａ＝１，ｂ＝－１，ｃ＝－１のとき
ａｂｃ＞０であるがａｂ＜０となり必要条件ではない。
以上から
必要条件でも十分条件でもない。