\(\frac{1}{z}\)が定義されるのだからz≠0
つまり、\(x^{2}\)+\(y^{2}\)≠0（|z|≠0だから）

z+(\(\frac{1}{z}\))=(x+yi)+(x-yi)/(\(x^{2}\)+\(y^{2}\))
={1/(\(x^{2}\)+\(y^{2}\))}{x(\(x^{2}\)+\(y^{2}\)+1)+y(\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-1)i}
これが実数値をとるのだから、虚部＝０
つまり y(\(x^{2}\)+\(y^{2}\)-1)=0 より
y=0 または　\(x^{2}\)+\(y^{2}\)=1

y=0のとき\(x^{2}\)y+4\(y^{3}\)=0

\(x^{2}\)+\(y^{2}\)=1のとき
x=cosθ　y=sinθ　とおけて
\(x^{2}\)y+4\(y^{3}\)=sinθ(3si\(n^{2}\)θ+1)≦4
※sinθ=t とおくと　-1≦t≦1
　微分すると単調増加であることが分かります。
　つまりt=sinθ=1の時最大
よって最大値は４