四角形ABCDが
AB=2+2\(\sqrt{\quad}\)3,∠ABC=60°,BC=4,AD=3\(\sqrt{\quad}\)2,cos∠ADC-\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{6}{3}\)
を満たすとする。このとき、
①cos∠ACB
②sin∠ACD
③三角形ACDの外接円の半径
④CDの長さ
⑤四角形ABCDの面積
センター追試試験の問題です。よろしくお願いします。
★希望★完全解答★
四角形ABCDが
AB=2+2\(\sqrt{\quad}\)3,∠ABC=60°,BC=4,AD=3\(\sqrt{\quad}\)2,cos∠ADC-\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{6}{3}\)
を満たすとする。このとき、
①cos∠ACB
②sin∠ACD
③三角形ACDの外接円の半径
④CDの長さ
⑤四角形ABCDの面積
センター追試試験の問題です。よろしくお願いします。
★希望★完全解答★
①
余弦定理から
ＡＣ^2＝ＢＡ^2＋ＢＣ^2－２・ＢＡ・ＢＣ・ｃｏｓ６０° ＝２４
よって ＡＣ＝２\(\sqrt{\quad}\)６
さらに余弦定理から
ＡＣ^2＋ＢＣ^2－ＡＢ^2
ｃｏｓ∠ＡＣＢ＝---------------------
２・ＡＣ・ＢＣ
\(\sqrt{\quad}\)６－\(\sqrt{\quad}\)２
＝---------- ・・・（答）
４
②
０＜∠ＡＤＣ＜１８０°よりｓｉｎ∠ＡＤＣ＞０
ｓｉｎ∠ＡＤＣ＝\(\sqrt{\quad}\)（１－ｃｏｓ^2∠ＡＤＣ）
＝\(\sqrt{\quad}\)３／３
次に正弦定理から
ＡＤ ＡＣ
------------- ＝ -------------
ｓｉｎ∠ＡＣＤ ｓｉｎ∠ＡＤＣ
ＡＤ＝３\(\sqrt{\quad}\)２ ＡＣ＝２\(\sqrt{\quad}\)６ ｓｉｎ∠ＡＤＣ＝\(\sqrt{\quad}\)３／３ より
ｓｉｎ∠ＡＣＤ＝１／２・・・（答）
③
△ＡＣＤの外接円の半径をＲとるすと
正弦定理から
ＡＤ
------------- ＝ ２Ｒ
ｓｉｎ∠ＡＣＤ
よって Ｒ＝３\(\sqrt{\quad}\)２・・・（答）
④
余弦定理から
ＡＣ^2＝ＡＤ^2＋ＣＤ^2－２・ＡＤ・ＣＤ・ｃｏｓ∠ＡＤＣ
ＣＤ^2－４\(\sqrt{\quad}\)３ＣＤ－６＝０
ＣＤ＞０より
ＣＤ＝２\(\sqrt{\quad}\)３＋３\(\sqrt{\quad}\)２・・・（答）
⑤
△ＡＢＣ＝（１／２）ＡＢ・ＢＣ・ｓｉｎ∠ＡＢＣ
＝２\(\sqrt{\quad}\)３＋６
△ＡＣＤ＝（１／２）ＡＣ・ＣＤ・ｓｉｎ∠ＡＣＤ
＝３\(\sqrt{\quad}\)２＋３\(\sqrt{\quad}\)３
四角形ＡＢＣＤ＝△ＡＢＣ＋△ＡＣＤ
＝６＋３\(\sqrt{\quad}\)２＋３\(\sqrt{\quad}\)３・・・（答）